Построение N=2N=2\cal{N}=2 суперсимметричной неабелевой теории Черна-Саймона

Это связано с этим более ранним вопросом, который я задал.

Я использую так называемое майорановское представление гамма-матриц в$2+1$размеры, в которых все реально. После уменьшения размеров$\cal{N}=1$преобразования суперсимметрии компонент векторного суперполя в$3+1$размеры преобразований суперсимметрии результирующих$\cal{N}=2$компоненты векторного суперполя в$2+1$размеры есть,

$$\delta F_A = i \bar{\alpha}^a\lambda_{Aa}$$ $$\delta D_A = i \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu D_\mu \lambda_{Aa}$$ $$\delta V_{A\mu} = i \bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}$$ $$\delta \lambda_{Aa} = -\frac{1}{2}f^3_{A\mu \nu}\gamma_3^{\mu \nu}\alpha_a + D_A\alpha^a + \gamma_3^\mu D_\mu F_A\alpha ^a$$

где$A,B,..$– индексы калибровочной группы,$f^3_{A\mu \nu}$– неабелева напряженность поля и$\alpha$является спинорным параметром, компоненты которого повышаются и понижаются как,$\alpha^1 = \alpha_2$и$\alpha^2 = -\alpha_1$.

Используя вышеизложенное, можно вывести следующие преобразования для возможных членов предполагаемой теории супер-Черна-Саймонса:

$$\delta(Tr[FD]) = Tr[t_At_B] \{ i\bar{\alpha}^a \lambda _{Aa}D_B - i \bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu\lambda_{Ba}\partial_\mu F_A + i\bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu \lambda_{Ca} C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

$$\delta(Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]) = 2Tr[t_A t_B]\{ \frac{1}{2}\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Ba}f^3_{A\mu\nu}\epsilon ^{\mu \nu \rho} + \bar{\alpha}^a\lambda_{Ba}D_A - \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}\partial_\mu F_A$$

$$- \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C \}$$

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu \partial_\nu V_\rho)]) = -i\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}(\partial_\mu V_{B\nu} - \partial_\nu V_{B\mu})$$

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_D]C_{DBC}\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}V_{B\nu}V_{C\rho}$$

(где$t_A$- выбранный базис в алгебре Ли калибровочной группы такой, что структурные константы определяются как$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$)

Понятно, что при выборе коэффициента$-2$для$Tr[FD]$и$i$для$Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]$некоторые члены вариации вспомогательных полей могут быть сокращены, а некоторые из оставшихся членов вариации фермионного члена полностью сокращают суперсимметричную вариацию кинетического члена калибровочных полей.

Что осталось,

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}V_\mu\partial _ \nu V_\rho + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD]) = Tr[t_At_B]\{i\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\mu}V_{D\nu}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$ $$- 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C - 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ca}C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

и

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\nu}V_{D\rho}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$

• Неясно, можно ли выбрать такой коэффициент для последнего члена, чтобы суперсимметричная вариация суммы LHS стремилась к нулю.

Вышеупомянутые термины кажутся структурно очень разными, и поэтому неясно, как они будут отменены. Подобно тому, как изменение члена фермионной самосвязи создает связь фермионной составляющей, калибровочного поля и вспомогательного поля. Такой член не создается изменением куба члена калибровочного поля!

Можно ожидать, что лагранжиан должен выглядеть примерно так:

$$Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu\partial _\nu V_\rho -i\frac{2}{3}V_\mu V_\nu V_\rho ) + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD ]$$

Я хотел бы получить некоторую помощь в установлении выше!

• Один прогресс был бы, если бы два члена со структурной константой фактически сокращались, т.е.

если

$$Tr[t_At_B]\{C_{AB'C}\lambda_{Ba} V_{B'\mu}F_C + C_{BB'C}\lambda_{Ca}V_{B'\mu}F_A\} = 0$$

Но из вышесказанного непонятно!

NB. Мои структурные константы определены как$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$