Уменьшение размерности с 3+13+13+1 до 2+12+12+1 для векторного суперполя N=2N=2\cal{N}=2

Уважаемый Anirbit, это очень большое количество явных и неявных, в чем-то элементарных вопросов, встроенных в копию довольно технического вывода, который, похоже, вообще не важен для ваших настоящих "первичных" вопросов. Трудно понять, каковы ваши вопросы на самом деле, потому что вы, кажется, прячете их в запутанном формализме. Но я вижу следующие:

Конкретная форма гамма-матриц имеет решающее значение, не так ли?

Нет, конкретный вид гамма-матриц никогда не имеет решающего значения для физики. Конечно, если вы хотите согласиться с определенными значениями компонентов или элементами матрицы, полученными кем-то другим, вам нужно использовать то же соглашение для гамма-матриц (и других вещей). Но если вы хотите получить физическое представление, вы можете выбрать любой базис гамма-матриц. Выводы будут связаны тривиальным сопряжением матриц или изменением знака, если кто-то выберет другие соглашения для метрики и т. Д.

Извините, на самом деле это не вопрос о представлениях трехмерных алгебр суперсимметрии. Это основной вопрос о разнице между физикой и социальными условностями. Мой ответ был бы идентичен в любом другом контексте, где мы говорим об условностях. Каждый, кто слышал или читал хотя бы 10 минут лекции о гамма-матрицах, должен знать, что существуют разные способы их представления, и все они могут быть использованы в физике.

Как получить полевой состав супермультиплета?

Вы берете состояние мультиплета и действуете с ним, повышая и/или понижая генераторы суперсимметрии — те, которые увеличивают или уменьшают некоторые$U(1)$обвинения по$\pm 1/2$. Некоторые из них аннигилируют генераторы суперсимметрии. Получаются спины всех состояний мультиплета. Тогда можно также попытаться угадать лоренц-ковариантные поля, физические поляризации которых соответствуют желаемому спектру физических частиц.

В$d=2+1$, векторный мультиплет$N=2$алгебра - которая имеет 4 суперзаряда, как$N=1$в$d=3+1$- это просто размерное уменьшение$N=1$ $d=4$умножить на 3 измерения. Таким образом, векторный мультиплет становится одним вектором и одним скаляром — один из поперечных компонентов становится скаляром — в то время как спинор Майорана становится парой спиноров в 3 измерениях.

Хиральный мультиплет в$d=4$ $N=1$непосредственно сводится к трем измерениям. В четырех измерениях есть комплексный скаляр и майорановский спинор. В трех измерениях это реорганизуется как два действительных скаляра и два действительных двухкомпонентных спинора, поэтому индекс$k$из этих полей в начале вашего текста.

Как разложить мультиплеты при уменьшении размерности?

Во-первых, сами суперсимметрии трансформируются как спиноры, так что можно разложить спиноры, например,$SO(2,1)$под$SO(1,1)$подгруппа. Если удалить измерение из пространства-времени, спинор более высокого измерения всегда становится спинором более низкого измерения или их парой. Аналогично, для разложения спинора$SO(d)$под максимальным$SO(d_1)\times SO(d_2)$группы, спинор первого становится тензорным произведением спиноров последних, меньших групп, или прямой суммой двух таких тензорных произведений (необходимо сделать простое упражнение относительно хиральности и/или реальности спиноров).

Из вашего текста трудно понять, знакомы ли вы с этими основными фактами о спинорах или нет, т.е. хотите ли вы, чтобы эти вещи были объяснены, или это просто пустая трата времени, потому что вы их знаете, или вы знакомы с самой тот факт, что большинство этих вопросов о «разложении» и «редукции размерности» касаются разложения представлений групп Ли и супергрупп под их подгруппами. Если нет, то не стоило начинать с малопонятных технических проблем, таких как$N=2$векторные мультиплеты в трех измерениях; вы должны были спросить, какова процедура размерной редукции теории. Но на таком вопросе следует сосредоточиться — по одному вопросу за раз. Это просто становится чрезвычайно запутанным, если вопрос SE по физике состоит из 10 таких вещей.

Скаляры-синглеты остаются скалярами-синглетами. Векторы разлагаются на векторы плюс синглеты, исходящие из редуцированных направлений пространства. Зная это, легко определить, какие имена вы использовали для этих полей.

Почему теория Черна-Саймонса

Потому что действие Черна-Саймонса можно записать с использованием трехмерного калибровочного поля, оно калибровочно-инвариантно и лоренц-инвариантно. Однако это не единственное действие, которое можно записать для калибровочного поля. Действие Янга-Миллса также может быть суперсимметричным. Так что неправда, что$N=2$SUSY подразумевает, что калибровочное поле должно быть полем Черна-Саймонса (которое не имеет физических поляризаций, поскольку теория является топологической). Но источник, который вы читаете, просто изучал эту теорию, поэтому он сделал все предположения, необходимые для точного определения конкретного лагранжиана.

Эрмитово сопряжение гамма-матриц

В какой-то момент вы, кажется, озадачены отношением, которое вы ошибочно утверждаете «только для трехмерных матриц», что эрмитово сопряжение эквивалентно (минус) сопряжению по временной гамма-матрице.

На самом деле это справедливо для любого измерения и любого (естественного!) соглашения, в котором гамма-матрицы выбираются эрмитовыми или антиэрмитовыми для временного и пространственного направлений соответственно. (Этот выбор необходим, потому что отдельные матрицы должны возводиться в квадрат к плюс-единице или минус-единице, в зависимости от того, являются ли они пространственноподобными или времениподобными, поскольку это следует из антикоммутаторных соотношений гамма-матриц и сигнатуры метрики.) Это нетрудно увидеть. почему. Антиэрмитовы меняют знак сопряжением, как раз те, что антикоммутируют с$\gamma_0$: Обратите внимание, что$\gamma_0$коммутирует сам с собой, но антикоммутирует с другими, поэтому сопряжение$\gamma_0$меняет знак «других».

Опять же, вам не следует изучать неясные супермультиплеты в неясных измерениях, если вы не понимаете, что делают гамма-матрицы при эрмитовом сопряжении. Этот факт является основным компонентом любого курса квантовой теории поля. Фактически, это обычно обсуждается в контексте уравнения Дирака (для одной частицы) еще до того, как студенты начинают изучать квантовую теорию поля. Обычное педагогическое лечение может иметь$d=4$предвзятость по понятным причинам, но верно то, что гамма-матрицы стоят своего имени только в том случае, если их можно использовать выше$d=2$или$d=3$, тоже: зная гамма-матрицы в$d=2$или$d=3$всего лишь означает вообще не знать гамма-матриц;$d=4$уже достаточно сложно, чтобы можно было догадаться, как оно обобщается на любую размерность.

Вы, должно быть, как-то пропустили все это. Опять же, я рекомендую вам какой-нибудь базовый курс по квантовой теории поля, потому что он охватывает все эти вопросы или, что менее естественно, эквивалентное математическое введение в представления групп Ли.

Вариация фермионов

Другая «загадочная» формула для вариации фермионных билинейщиков — это всего лишь правило Лейбница для производной произведения (мне бы хотелось верить, что вы знаете, как дифференцировать произведение, но этот ваш вопрос — в котором вы не сделал ни одного шага, чтобы свести вопрос к более элементарному, т.е. в котором вы толком не применили даже правило Лейбница - уменьшили мою уверенность даже в этом пункте), в сочетании с тем, что спиноры в 3-х измерениях реальны, так что сопряжение Дирака эффективно содержит только «транспозицию», а два члена из правила Лейбница равны, что дает множитель два. Опять же, это не имеет большого значения; в данном случае это просто симметрия внутреннего произведения двух действительных векторов (спиноров).$\bar\lambda \lambda$не исчезает для фермионного$\lambda$, потому что они связаны с антисимметричным$\epsilon_{\alpha\beta}$из$SL(2,R)=Spin(2,1)$, то и его вариация не может быть равна нулю. Таким образом, относительный знак должен быть плюс, а первый член правила Лейбница должен быть удвоен, а не отменен.

Очень трудно осмысленно ответить на эти вопросы, потому что это поток относительно явно не относящихся к делу технических деталей, которые не имеют ничего общего с «основными» вещами, которые, кажется, вас смущают; в сочетании с вашими мнениями и догадками, которые почти всегда ошибочны (например, догадки о том, что нельзя использовать разные базы); и типографские ошибки, которые делают невозможным техническое обсуждение (например, в TeX нет «обратной косой черты 1» или «обратной косой черты 2»).