Потенциальная яма с 2 дельта-потенциалами

У меня есть проблема вывести трансцендентное уравнение для собственных энергий ограниченных состояний для потенциала:

В ( Икс ) "=" { − λ дельта ( Икс + а / 4 ) − λ дельта ( а − а / 4 ) , | Икс | < а / 2 ∞ , | Икс | > а / 2  
Я знаком с решением для «классической» потенциальной ямы, где мы начинаем с ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 _iewith ψ я "=" А я е κ Икс + Б я е − κ Икс . Таким образом, мы делим ось x на 3 области. Икс < − а / 2 , − а / 2 < Икс < а / 2 , Икс > а / 2 а затем рассчитать коэффициенты. Но как начать, когда у нас в потенциале есть дополнительные 2 дельта-функции? Моя первоначальная идея состояла в том, чтобы определить 5 областей по оси x, чтобы у нас была кусочно определенная волновая функция? Каков наилучший подход для запуска такой проблемы?

Итак, я обнаружил, что на самом деле мне нужно 3 области, так как это бесконечное глубокое потенциальное колесо, поэтому позиции снаружи не разрешены. Но мне интересно, является ли волновая функция непрерывной в дельта-потенциалах?

Ответы (1)

Бесконечный потенциал во внешних областях | Икс | > а / 2 означает, что ваша волновая функция должна быть там нулевой. Это оставляет вас с интервалом − а / 2 < Икс < а / 2 , который имеет две отрицательные дельты в Икс "=" − а / 4 и Икс "=" а / 4 . Эти дельты делят ваш интервал на три части. Потенциал равен нулю в этих трех частях, так что вы можете использовать упомянутые вами решения для свободных частиц и применять обычные граничные условия непрерывности волновой функции в критических точках. Икс "=" − а / 2 , Икс "=" − а / 4 , Икс "=" а / 4 и Икс "=" а / 2 (обратите внимание, что обычное требование непрерывности производной волновой функции здесь не применяется, поскольку мы имеем дело с бесконечными потенциалами, и производная не обязательно должна быть непрерывной в точках, где потенциал бесконечен). Таким образом, ваши граничные условия должны выглядеть так:

ψ 1 ( − а 2 ) "=" 0 ,

ψ 1 ( − а 4 ) "=" ψ 2 ( − а 4 ) ,

ψ 2 ( а 4 ) "=" ψ 3 ( а 4 ) ,

ψ 3 ( а 2 ) "=" 0

Это 4 уравнения для 4 из 6 неопределенных коэффициентов вашего решения. Дополнительный можно получить, наложив нормализацию: ∫ − а / 2 а / 2 | ψ ( Икс ) | 2 г Икс "=" 1 . Это оставляет ваше решение с точки зрения одного неопределенного коэффициента.

Чтобы получить окончательное решение, включающее трансцендентное уравнение для Е , важно, чтобы вы действительно учитывали эффекты дельт (иначе вы просто получите раствор со свободными частицами). Способ сделать это — проинтегрировать уравнение Шредингера в бесконечно малом интервале вокруг дельт. Это сложная и специфическая процедура, но если вы решаете двойной дельта-потенциал, я предполагаю, что вы уже решали по крайней мере какой-то простой дельта-потенциал, и поэтому вы, вероятно, видели его раньше. Если нет, то статья в Википедии о Delta Potential содержит достойное объяснение. Таким образом, интегрируя вокруг одной из дельт, вы получаете окончательный коэффициент, и, получив окончательное решение, вы интегрируете вокруг другой дельты, чтобы получить (в данном случае трансцендентное) уравнение для E.

Ну, на самом деле мы упомянули только дельта-потенциал, эта проблема возникла пару лет назад. Я проверил Вики, и у меня есть общее представление... но... я предполагаю, что мне нужно интегрироваться вокруг дельт стенда, а не только одного?
Точно, вы должны интегрироваться вокруг обеих дельт; один из них даст вам соотношение между коэффициентами вашего решения (и вы сможете узнать последнюю оставшуюся константу), а другой даст вам уравнение для E.
Потенциальная яма с 2 дельта-потенциалами
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v