Волновая функция с дельта-потенциалом

При потенциале с дельта-функцией частица свободна по обе стороны от барьера:

$$\psi(x)=\begin{cases}\psi_L(x)=A_re^{ikx}+A_le^{-ikx} \\ \psi_R(x)=B_re^{ikx}+B_le^{-ikx}\end{cases}$$ где $A_i,\,B_i$такие константы, что $A_r+A_l=B_r+B_l$(т.е., $\psi(x)$удовлетворяет условию непрерывности функции).

Но у барьера у нас есть проблема, что$V(0)=\infty$. Итак, чтобы решить эту проблему, мы используем уравнение Шредингера и интегрируем его по некоторой небольшой области.$\left[-\epsilon,\,\epsilon\right]$а потом пусть$\epsilon\to0$:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi''\,dx+\int_{-\epsilon}^\epsilon V\psi\,dx=E\int_{-\epsilon}^\epsilon\psi\,dx$$ Первый член явно $d\psi/dx$оценивается в два балла. Последний член стремится к нулю в пределе $\epsilon\to0$(Напомним, что $E$постоянна и конечна, так что при $\epsilon\to0$, ширина становится равной 0, как и все значение).

Что касается потенциального члена, дельта-функция обладает тем замечательным свойством, что

$$\int\delta(x-a)f(x)\,dx=f(a)$$ Таким образом, этот средний термин становится $\left.\psi(x)\right|_{-\epsilon}^\epsilon$. Затем мы объединяем эти два, чтобы получить $$-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\psi'\left(+\epsilon\right)-\psi'(-\epsilon)\right]+\left.\lambda\psi(x)\right|_{-\epsilon}^{\epsilon}=0$$ Как $\epsilon\to0$, мы можем получить отношение, которое вас смущает: $$\psi'_R(0)-\psi'_L(0)=+k\psi(0)$$

См . это , начиная со «Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции». Для вашей проблемы,$\lambda = \hbar^2 k / 2 m$.

Идея состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнение Шредингера по интервалу$\left(-\epsilon, \epsilon\right)$и разреши$\epsilon \rightarrow 0$.