Частица в бесконечной потенциальной яме, удвоенная в размере в момент времени t0t0t_0

Question

Частица в бесконечной потенциальной яме, удвоенная в размере в момент времени t0t0t_0

пользователь 20486

В настоящее время я готовлюсь к экзамену по квантовой механике и наткнулся на решение проблемы, которую не могу понять.

Проблема:

Частица находится в бесконечной потенциальной яме, описываемой уравнением

\begin{aligned} В (Икс) & "=" 0, & 0 \leq Икс \leq л \\ В (Икс) & "=" \infty, & в противном случае \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Мы знаем, что энергии даются $E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$ и $\Psi(x) = A_n \sin(n \pi x /L)$ .

Вовремя $t_0$ потенциальная яма внезапно удваивается в размере, так что потенциал теперь

\begin{aligned} В (Икс) & "=" 0, & 0 \leq Икс \leq 2 л \\ В (Икс) & "=" \infty, & в противном случае \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq 2L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Таким образом, энергии теперь даются $\tilde{E}_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 \cdot 4 m L^2}$ и $\tilde{\Psi}(x) = \tilde{A}_n \sin(n \pi x /2L)$ .

Если частица находилась в основном состоянии потенциала задолго до изменения, какова вероятность найти частицу в основном состоянии нового потенциала после изменения?

Это мне абсолютно ясно. В результате находим ненулевую вероятность. Но теперь все сложнее:

Каково математическое ожидание энергии частицы сразу после изменения? Как изменяется ожидаемое значение энергии во времени?

Решение предполагает, что математическое ожидание энергии не изменяется во времени, что мне ясно, поскольку гамильтониан не зависит от времени и, таким образом, энергия сохраняется. Но это также предполагает, что ожидаемое значение не изменится после того, как мы удвоим ширину потенциальной стенки, что я понимаю из аргумента сохранения энергии, а не с точки зрения квантовой механики. Если вероятность того, что частица находится в состоянии $\tilde{\Psi}$ не обращается в нуль, частица могла бы иметь энергию $\tilde{E}_n$ что ниже, чем $E_n$ а это означало бы, что ожидаемое значение энергии может измениться (с заданной вероятностью).

Что я здесь упускаю, в чем моя ошибка? Любая помощь приветствуется!

Ответы (2)

Частица в бесконечной потенциальной яме, удвоенная в размере в момент времени t0t0t_0

Любош Мотл · Answer 1

Ожидаемое значение энергии остается прежним после удвоения размера, но это не означает, что спектр тот же. Для нормализованного $\psi$ , ожидаемое значение энергии просто

\int_{- л}^{+ л} г Икс ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс)) ψ

$\int_{-L}^{+L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ потому что интеграл может быть сведен к интервалу, поскольку волновая функция обращается в нуль вне интервала. Теперь, когда вы удвоите размер лунки, значение

ψ (x)

$\psi(x)$ остается прежним, поэтому он по-прежнему исчезает за пределами интервала

(- L, L)

$(-L,L)$ и обращает в нуль и подынтегральную функцию (хотя вторая производная может отказаться от обращения в нуль). Вот почему приведенный выше интеграл все еще можно переписать как

\int_{- 2 л}^{+ 2 л} г Икс ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс)) ψ

$\int_{-2L}^{+2L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ без каких-либо изменений. Это ожидаемое значение нового гамильтониана. Обратите внимание, что

V (x) = 0

$V(x)=0$ где бы

ψ (x) \neq 0

$\psi(x)\neq 0$ поэтому потенциальный член может быть опущен.

Вы правы в том, что есть некоторая вероятность того, что в более крупном колодце частица находится при более низком значении энергии, чем собственное значение начальной энергии. Однако есть некоторая вероятность, что и энергия повышена – волновой пакет излишне сжат в небольшой части ямы, что добавляет кинетической энергии больше минимально возможной. Эти положительные и отрицательные изменения нейтрализуют ожидаемое значение энергии: приведенный выше расчет показал, что оно остается постоянным.

Среднее значение энергии остается постоянным, когда частица также эволюционирует в соответствии с гамильтонианом большей ямы.

Вероятности каждого собственного значения энергии постоянны для всех $t<0$ а затем для $t>0$ но есть разрыв в $t=0$ . Однако, как показывает приведенный выше простой расчет, в ожидаемом значении самой энергии изменение спектра и т. д. при $t=0$ отменяется, когда речь идет об ожидаемом значении энергии.

Спасибо за ваш подробный ответ и объяснение, это проясняет!
Каково значение гамильтониана после замены? Я понимаю, что значения в $E_{n}$ изменить на $\tilde E_{n}$ , но разве это не должно изменить значение гамильтониана? (с использованием $\langle H \rangle = \Sigma |c_{n}|^{2}E_{n}$ )
Привет @ user44816, это первая точка этого расчета (и первое предложение в моем ответе), что математическое ожидание (а не просто значение !!!) гамильтониана остается постоянным после изменения, потому что два гамильтониана отличаются только потенциальной энергией при места, где частица 100% гарантированно отсутствовала. Общее изменение гамильтониана изменяет его математическое ожидание в общем состоянии на общую величину, но в этой конкретной задаче мой аргумент ясно показывает, что сумма равна нулю.

Владимир Калитвянский · Answer 2

При внезапном возмущении состояние не меняется, но меняется базис. Это состояние расширяется в новый базис, коэффициенты которого эволюционируют соответственно. Обычно он рассматривается в главах теории нестационарных возмущений. $\hat{V} = \hat{V}(t)$ .

Если потенциал зависит от времени, то в общем случае энергия не сохраняется. В вашем случае энергия от определенных становится неопределенной.

У вас, конечно, есть дух правильного ответа, но вы не можете назвать это изменение «возмущением», потому что оно ни в каком смысле не мало. Изменение (удвоение) не должно описываться никакой теорией возмущений. - Для общих нестационарных потенциалов энергия не сохраняется, но дело в том, что это не общий случай. Потому что $V=0$ где бы $\psi\neq 0$ , математическое ожидание энергии на самом деле сохраняется, но вы толком не объяснили, почему это так, несмотря на то, что, как вы признаете, при общих изменениях гамильтониана оно не сохраняется.
@LubošMotl: Честно говоря, я никогда не упоминал ожидаемое значение, но собственное значение. Начальное состояние является собственным состоянием старого гамильтониана и перестает быть таковым нового гамильтониана. К сожалению, вы ошибаетесь со значением ожидания и собственным значением.

Частица в бесконечной потенциальной яме, удвоенная в размере в момент времени t0t0t_0

пользователь 20486

Ответы (2)

Любош Мотл

пользователь 20486

пользователь44816

Любош Мотл

Владимир Калитвянский

Любош Мотл

Владимир Калитвянский

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Конечная, квадратная, потенциальная яма

Решение квантового радиального уравнения для бесконечного потенциального сферического кольца при l=0l=0l=0

Приближение ВКБ на линейном + гармоническом потенциале

Потенциальная яма с 2 дельта-потенциалами

Волновая функция с дельта-потенциалом

QM: решение конечного квадрата потенциала без предположения о симметрии

Каковы энергетические состояния частицы в дельта-потенциальной яме V(x)=−δ(x)V(x)=−δ(x)V(x)=-\delta(x)?