Поверхностная степень расходимости по Вайнбергу

Читая том 1 книги Вайнберга по QFT, глава 12, страница 505, он говорит, что если вы рассмотрите диаграмму со степенью расхождения Д ≥ 0 , его вклад можно записать в виде полинома порядка Д во внешних импульсах. В качестве примера он рассматривает Д "=" 1 интеграл

∫ 0 ∞ к г к к + д "=" а + б д + д п ⁡ д .

где а и б расходящиеся константы, и мы видим, что мы получаем полином или порядок 1 от внешних импульсов д . Затем он говорит, и я цитирую

«Теперь полиномиальный член от внешних импульсов — это как раз то, что было бы получено путем добавления подходящих членов к лагранжиану, если бы граф с Е ф внешние линии типа ф (относительно типа поля) имеет степень дивергенции Д ≥ 0 , то полином, расходящийся в ультрафиолетовом диапазоне, будет таким же, как и при добавлении различных взаимодействий я с н я ф "=" Е ф поля типа ф и г я ≤ Д производные».

Кто-нибудь может немного рассказать об этом? в частности, как и где возникает многочлен с добавленным лагранжевым членом?

Ответы (1)

  1. Отказ от ответственности: перенормировка - это огромная тема со многими аспектами, такими как, например, перекрывающиеся расхождения подграфов, регуляризация , группа ренормализации и т. Д. Здесь мы остановимся только на цитате OP из Ref. 1.

  2. Ссылка 1 рассматривает диаграмму Фейнмана Ф ( д 1 , … , д Е ) в импульсном пространстве Фурье с внешними 4-импульсами ( д 1 , … , д Е ) , а с внутренними 4-импульсами ( п 1 , … , п я ) , которые интегрируются поверх. п -интеграции предполагаются УФ-расходящимися с положительной поверхностной степенью расходимости (SDOD) Д ≥ 0 . Что касается SDOD, см., например, мой связанный с Phys.SE ответ здесь .

  3. Здесь Е "=" ∑ ф Е ф - общее количество внешних линий, а Е ф количество внешних строк типа поля ф .

  4. Если мы продифференцируем диаграмму Фейнмана Д + 1 раз ср. внешних 4-импульсов подынтегральная функция становится UV-конечной. Мы заключаем, что расходящаяся часть исходной диаграммы Фейнмана Ф ( д 1 , … , д Е ) является полиномом в ( д 1 , … , д Е ) порядка ≤ Д . Обратите внимание, что коэффициенты многочлена, возможно, бесконечны!

  5. Затем мы добавим новые члены взаимодействия к лагранжевой плотности л соответствующий Е -вершины с Е ф поля типа поля ф и, возможно, конечное число пространственно-временных производных (которое в пространстве Фурье по импульсу становится мономом по импульсу). Новые условия взаимодействия — это так называемые контртермы .

  6. Фейнман предлагает нам суммировать по всем диаграммам Фейнмана с Е ф внешние ножки полевого типа ф . В частности, мы должны также включать диаграммы, состоящие из одного Е -вершина, исходящая из новых контрчленов взаимодействия. Подстраивая, возможно, бесконечные константы связи перед новыми контрчленами взаимодействия, полную диаграмму Фейнмана можно сделать конечной.

Использованная литература:

  1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 1; Раздел 12.2, с. 506.

  2. ME Peskin & DV Schroeder, Введение в QFT, 1995; Раздел 10.1, с. 319.

Поверхностная степень расходимости по Вайнбергу
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v