Признак контрчленного вершинного фактора (Средницкого)?

Question

Признак контрчленного вершинного фактора (Средницкого)?

Артуро дон Хуан

Мой вопрос касается простого знака минус, который, хотя и не имеет отношения к моей конкретной проблеме (как будет показано ниже), боюсь, может позже меня укусить.

В главе 14 Средненицкого автор вычисляет 1-петлевую поправку к пропагатору в перенормированном $\phi^3$ теория:

\begin{matrix} (9.1) & л "=" л_{0} + л_{я} + л_{с т} \end{matrix}

$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\mathcal{L}_I+\mathcal{L}_{ct}\tag{9.1}$

с:

\begin{aligned} (9.8) & л_{0} & "=" - \frac{1}{2} (\partial ф)^{2} - \frac{1}{2} м^{2} ф^{2} \\ (9.9) & л_{я} & "=" \frac{1}{3!} Z_{г} г ф^{3} \\ л_{с т} & "=" - \frac{1}{2} \underset{А}{\underset{⏟}{(Z_{ф} - 1)}} (\partial ф)^{2} - \frac{1}{2} \underset{Б}{\underset{⏟}{(Z_{м} - 1)}} м^{2} ф^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}_0&=-\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\tag{9.8} \\ \mathcal{L}_I&=\frac{1}{3!}Z_{g}g\,\phi^3\tag{9.9}\\ \mathcal{L}_{ct}&=-\frac{1}{2}\underset{A}{\underbrace{(Z_{\phi}-1)}}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}\underset{B}{\underbrace{(Z_m-1)}}m^2\phi^2 \end{align}$

Средненицкий осторожен со всеми факторами $\pm i$ при написании полного пропагатора: множитель $+i$ для каждой вершины и коэффициент $1/i$ для каждого распространителя.

\begin{matrix} (14.2) & \frac{1}{я} Δ (к^{2})_{полный} "=" \frac{1}{я} Δ (к^{2}) + \frac{1}{я} Δ (к^{2}) (я Π (к^{2})) \frac{1}{я} Δ (к^{2}) + \dots \end{matrix}

$\frac{1}{i}\Delta(k^2)_{\text{full}}=\frac{1}{i}\Delta(k^2)+\frac{1}{i}\Delta(k^2)\left(i\Pi(k^2)\right)\frac{1}{i}\Delta(k^2)+\ldots\tag{14.2}$

что схематично представлено на рис. 14.2 ниже.

Вершинная поправка низшего порядка к пропагатору, $i\Pi (k^2)$ , дан кем-то:

\begin{matrix} (14.4) & я Π (к^{2}) "=" \underset{петля}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (я г)^{2} \int \frac{г^{г} л}{(2 π)^{г}} {(\frac{1}{я})}^{2} Δ (л^{2}) Δ ((л + к)^{2})}} \underset{контрусловие}{\underset{⏟}{- я (А к^{2} + Б м^{2})}} \end{matrix}

$i\Pi(k^2)=\underset{\text{loop}}{\underbrace{\frac{1}{2}(ig)^2\int \frac{d^dl}{(2\pi)^d}\left(\frac{1}{i}\right)^2\Delta (l^2) \Delta ((l+k)^2)}}\,\underset{\text{counterterm}}{\underbrace{\, \color{red}{-i}(Ak^2+Bm^2)}}\tag{14.4}$

Я покрасил свою проблему в красный цвет. Почему контртермин фактор $-i=1/i$ вместо $+i$ ? Это просто (квадратичная) вершина, поэтому она должна иметь коэффициент $+i$ , верно? В LHS у нас есть обобщенная вершина, которая имеет коэффициент $i$ . На правой стороне посмотрите на член петли - у нас есть фактор симметрии $1/2$ , фактор $i$ для каждой вершины и коэффициент $1/i$ для каждого распространителя. Почему это не верно для контртерминальной части?

В данной конкретной ситуации это на самом деле не имеет значения, потому что, в конце концов, мы определяем $A$ и $B$ чтобы удовлетворить определенным условиям нормировки поля и массы (в идеале исключая бесконечности, появляющиеся в петлевом интеграле).

Ответы (1)

Признак контрчленного вершинного фактора (Средницкого)?

Шон · Answer 1

От

л_{с т} "=" - \frac{1}{2} А (\partial ф)^{2} - \frac{1}{2} Б м^{2} ф^{2}

$\mathcal {L}_{ct} = -\frac{1}{2}A\,(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2$

мы получаем

\begin{aligned} я \int г^{4} Икс л_{с т} & "=" я \int г^{4} Икс (- \frac{1}{2} А (\partial ф)^{2} - \frac{1}{2} Б м^{2} ф^{2}) \\ "=" я \int г^{4} Икс (- \frac{1}{2} А \partial (ф \partial ф) + \frac{1}{2} А ф \partial^{2} ф - \frac{1}{2} Б м^{2} ф^{2}) \\ "=" я \int г^{4} Икс (\frac{1}{2} А ф \partial^{2} ф - \frac{1}{2} Б м^{2} ф^{2}) \\ "=" я \int г^{4} Икс ф [(\frac{1}{2}) (А \partial^{2} - Б м^{2})] ф \\ "=" я \int г^{4} Икс ф [(\frac{1}{2}) (- 1) (- А \partial^{2} + Б м^{2})] ф \end{aligned}

$\begin{align} i \int d^4x\; \mathcal{L}_{ct} &= i \int d^4x\; \left( -\frac{1}{2}A\,(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \left( -\frac{1}{2}A\, \partial(\phi\partial\phi) + \frac{1}{2}A\,\phi\,\partial^2\phi - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \left( \frac{1}{2}A\,\phi\,\partial^2\phi - \frac{1}{2}B\, m^2 \phi^2 \right) \\ &= i \int d^4x\; \phi\left[ \left(\frac{1}{2}\right)\left(A\,\partial^2 - B\, m^2 \right) \right]\phi \\ &= i \int d^4x\; \phi\left[ \left(\frac{1}{2}\right)(-1)\left(-A\,\partial^2 + B\, m^2 \right) \right]\phi \\ \end{align}$

Во второй строке используется интегрирование по частям, в третьей строке полное расхождение отбрасывается.

Это соответствует вершине

- я (А к^{2} + Б м^{2})

$-i (A\,k^2 + B\, m^2)$

в импульсном пространстве (помните, что $-\partial^2e^{ikx} = k^2\, e^{ikx}$ ).

Если бы это было источником знака минус, не применялся бы он и к другим вершинным факторам? Не должны ли мы тогда также иметь $-ig$ для каждой трехточечной вершины и, соответственно, $+i$ для каждого распространителя?
@ArturodonJuan знак минус не связан ни с чем другим, вы также можете написать вершину как $i (-A k^2 - B m^2)$ . Я отредактировал свой ответ, чтобы уточнить его.

Признак контрчленного вершинного фактора (Средницкого)?

Артуро дон Хуан

Ответы (1)

Шон

Артуро дон Хуан

Шон

Почему мы требуем, чтобы контрчлены в теории φ3φ3\varphi^3 были O(g2)O(g2)O(g^2)?

Безмассовая перенормировка теории ϕ4ϕ4\phi^4 и λ−ελ−ε\lambda^{-\varepsilon}

Вносят ли головастики вклад в собственную энергию?

Поляризация вакуума в КЭД — почему она важна для перенормировки?

Поверхностная степень расходимости по Вайнбергу

Каковы источники бесконечностей в (неперенормированных) расчетах квантовой теории поля?

Пескин Шредер ϕ4ϕ4\phi^4 перенормировка массы

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как вычислить квантовое эффективное действие из диаграмм Фейнмана 1PI?

Как получить конечный ответ после применения размерной регуляризации в КЭД?