Правильны ли эти манипуляции с брекетами?

Я читаю старую статью («Функция Вигнера и другие распределения в фиктивных фазовых пространствах», Balazs and Jennings, Phys. Rep. 104(6), 1984) и наткнулся на следующее утверждение (в котором$\hat{q}$и$\hat{p}$являются парой обобщенных канонических операторов и$\hat{\rho}$— некоторый оператор плотности):

Мы также можем оценить$\text{Tr}[\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho}]$или$\text{Tr}[\delta(\hat{p}-p')\delta(\hat{q}-q')\hat{\rho}]$...Величины эти, однако, неодинаковы, несимметричны по$\hat{p}$и$\hat{q}$и не везде положительны. Кроме того, они будут сложными.

Мне интуитивно показалось, что эти следы вообще могут быть разными (поскольку$\hat{q}$и$\hat{p}$не коммутируют), но не было так ясно, что эта величина может быть отрицательной или мнимой, хотя ясно, что волновая функция в базисе положения или импульса может быть такой.

Поэтому я попытался увидеть это, оценив немного. Позволять$\hat{\rho} = \left|\psi\right\rangle \left\langle \psi \right|$и$\left|\psi\right\rangle = \int dq \, \psi(q)\left|q\right\rangle$в основе положения. Потом подумал сделать трассировку в позиционном базисе, т.е.

$$\begin{aligned} \text{Tr}[\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho}] &= \int dq'' \left\langle q'' | \delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho} | q'' \right\rangle \\ &= \int dq'' \int dq \left\langle q''|\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')|q \right\rangle \langle q|q'' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \int dq'' \int dq \left\langle q''|\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')|q'' \right\rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \langle q' | \delta(\hat{p}-p') | q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \int dp'' \langle q'|\delta(\hat{p}-p')|p'' \rangle \langle p''|q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \langle q'|p' \rangle \langle p'|q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= |\langle q'|p' \rangle|^2 |\psi(q)|^2 \end{aligned}$$

который всегда реален и положителен, вопреки утверждению статьи. Поэтому я должен верить, что сделал что-то не так. Любая помощь в указании на мою ошибку будет принята с благодарностью.