Представление вращения вокруг произвольной оси с помощью DDD-матрицы Вигнера

Question

Представление вращения вокруг произвольной оси с помощью DDD-матрицы Вигнера

grjj3

Известно, что произвольное вращение можно выразить через три последовательных вращения, называемых вращением Эйлера. Поэтому вместо того, чтобы выражать оператор вращения как $\hat{R}(\hat{n},\phi) = \exp\left(-\frac{i\phi}{\hbar} \hat{n}\cdot\vec{J}\right )$ можно написать $\hat{R}(\alpha,\beta,\gamma) = \hat{R}_z(\alpha)\hat{R}_y(\beta)\hat{R}_z(\gamma)$ где $(\alpha,\beta,\gamma)$ так называемые углы Эйлера. Мой вопрос довольно прост: какова связь между данным $\hat{n}$ и $(\alpha,\beta,\gamma)$ ?

Позвольте мне быть более конкретным. Предположим, у нас есть спин- $1/2$ система и некоторый спинор $|\chi\rangle$ связанные с ним. Теперь предположим, что я хочу повернуть этот спинор на угол $\phi = 2\pi$ вокруг произвольной оси $\hat{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ , где $\theta,\varphi$ — обычные полярный и азимутальный углы в исходной сферической системе координат. Очевидно, мы можем использовать следующее тождество

\hat{р} (\hat{н}, ф) "=" я потому что \frac{ф}{2} - я (\hat{н} \cdot \vec{о}) грех \frac{ф}{2}

$\hat{R}(\hat{n},\phi) = \mathbb{I}\cos \frac{\phi}{2} - i(\hat{n}\cdot\vec{\sigma}) \sin\frac{\phi}{2}$ и сделать вывод, что

\hat{R} (\hat{n}, ϕ = 2 π) = - I

$\hat{R}(\hat{n},\phi=2\pi)=-\mathbb{I}$ для любого

\hat{n}

$\hat{n}$ . Но затем я хотел посмотреть, можно ли получить тот же результат, используя D-матрицы Вигнера (которые привязаны к вращению Эйлера). Очевидно, нужно сначала повернуть исходную систему координат так, чтобы одна из ее осей совпадала с

\hat{n}

$\hat{n}$ а затем повернуть

| χ ⟩

$|\chi\rangle$ вокруг этой оси. Но как именно это можно сделать всего за три шага (угла)? Изначально я думал, что правильная последовательность должна быть

α = φ, β = θ, γ = ϕ

$\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi$ , однако для вышеупомянутого примера это дает:

Д_{м^{'} м}^{Дж "=" 1 / 2} (ф, θ, ф "=" 2 π) "=" (\begin{matrix} - е^{- я ф / 2} потому что \frac{θ}{2} & - е^{- я ф / 2} грех \frac{θ}{2} \\ е^{я ф / 2} грех \frac{θ}{2} & - е^{я ф / 2} потому что \frac{θ}{2} \end{matrix}) \neq - я

$D_{m'm}^{j=1/2}(\varphi ,\theta,\phi=2\pi ) = \begin{pmatrix} -e^{-i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} & -e^{-i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2}\\ e^{i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2} & -e^{i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \neq - \mathbb{I}$

Космас Захос

Вы не согласны с определением ? Вы можете составить из трех углов Эйлера

ϕ \hat{n}

$\phi \hat n$ .

grjj3

@CosmasZachos - я понимаю определение, но не уверен в точной взаимосвязи между углами Эйлера и

\hat{n}

$\hat{n}$ . Предлагаемые углы

α = φ, β = θ, γ = ϕ = 2 π

$\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi = 2\pi$ (что интуитивно понятно) на самом деле не дают

D_{m^{'} m}^{j} (α, β, γ) = - I_{2 \times 2}

$D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=-\mathbb{I}_{2\times 2}$ как и следовало ожидать в вышеупомянутом примере. Обратите внимание, что я работаю в стандарте

z y z

$zyz$ соглашение.

grjj3

@CosmasZachos - я обновил свой вопрос и добавил расчет матрицы Вигнера-Д для

j = 1 / 2

$j=1/2$ и предполагаемые углы. Очевидно, что предложенные углы неверны, и я хотел бы понять, почему.

grjj3

Одну такую конструкцию я уже предлагал: сначала нужно повернуть систему так, чтобы одна из ее осей (скажем,

z

$z$ ) указывает в направлении

\hat{n}

$\hat{n}$ . Этого можно добиться, приняв

α = φ

$\alpha = \varphi$ (повернуть систему вокруг

z

$z$ по азимутальному углу

\hat{n}

$\hat{n}$ , такой, что

\hat{n}

$\hat{n}$ сейчас лежит в

x z

$xz$ плоскости повернутой системы) и

β = θ

$\beta=\theta$ (поверните новую систему на полярный угол

\hat{n}

$\hat{n}$ о ранее повернутом

y

$y$ ось). Теперь, когда

\hat{n}

$\hat{n}$ и

z

$z$ совпадают, вращают систему вокруг

z

$z$ на сумму

ϕ = 2 π

$\phi=2\pi$ . Но эта конструкция кажется ошибочной.

Космас Захос

Ну нарисуй картинку. Вы фактически повернули на π вокруг n в графических терминах. Это не равнозначно отражению в системе с фиксированной осью, и это правильно.

Фробениус

Связанный: Мой ответ здесь Вращения Эйлера в обычном пространстве . Я думаю, что приравнивание выражения

A (ψ, θ, ϕ)

$\mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)$ уравнения (01) к выражению

A (n, Φ)

$\mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)$ уравнения (03) моего ответа вы найдете вектор

\sin Φ n

$\sin\Phi\mathbf{n}$ через углы Эйлера

(ψ, θ, ϕ)

$\left(\psi,\theta,\phi\right)$ .

Ответы (1)

Представление вращения вокруг произвольной оси с помощью DDD-матрицы Вигнера

Вы не согласны с определением ? Вы можете составить из трех углов Эйлера $\phi \hat n$ .
@CosmasZachos - я понимаю определение, но не уверен в точной взаимосвязи между углами Эйлера и $\hat{n}$ . Предлагаемые углы $\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi = 2\pi$ (что интуитивно понятно) на самом деле не дают $D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=-\mathbb{I}_{2\times 2}$ как и следовало ожидать в вышеупомянутом примере. Обратите внимание, что я работаю в стандарте $zyz$ соглашение.
@CosmasZachos - я обновил свой вопрос и добавил расчет матрицы Вигнера-Д для $j=1/2$ и предполагаемые углы. Очевидно, что предложенные углы неверны, и я хотел бы понять, почему.
Одну такую конструкцию я уже предлагал: сначала нужно повернуть систему так, чтобы одна из ее осей (скажем, $z$ ) указывает в направлении $\hat{n}$ . Этого можно добиться, приняв $\alpha = \varphi$ (повернуть систему вокруг $z$ по азимутальному углу $\hat{n}$ , такой, что $\hat{n}$ сейчас лежит в $xz$ плоскости повернутой системы) и $\beta=\theta$ (поверните новую систему на полярный угол $\hat{n}$ о ранее повернутом $y$ ось). Теперь, когда $\hat{n}$ и $z$ совпадают, вращают систему вокруг $z$ на сумму $\phi=2\pi$ . Но эта конструкция кажется ошибочной.
Ну нарисуй картинку. Вы фактически повернули на π вокруг n в графических терминах. Это не равнозначно отражению в системе с фиксированной осью, и это правильно.
Связанный: Мой ответ здесь Вращения Эйлера в обычном пространстве . Я думаю, что приравнивание выражения $\mathrm{A}\left(\psi,\theta,\phi\right)$ уравнения (01) к выражению $\mathrm{A}\left(\mathbf{n},\Phi\right)$ уравнения (03) моего ответа вы найдете вектор $\sin\Phi\mathbf{n}$ через углы Эйлера $\left(\psi,\theta,\phi\right)$ .

ZeroTheHero · Answer 1

Я подозреваю, что вы хотите что-то под названием $U^J_{MM'}$ матрицы вращения:

\begin{aligned} U_{М М^{'}}^{Дж} (ю; Θ, Φ) \equiv ⟨ Дж М | е^{- я ю \hat{н} \cdot \hat{Дж}} | Дж М^{'} ⟩, \end{aligned}

$\begin{align} U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi)\equiv \langle JM\vert e^{-i\omega \hat{\boldsymbol{n}}\cdot\hat{\boldsymbol{J}} } \vert JM'\rangle\, , \end{align}$ где

Θ, Φ

$\Theta,\Phi$ определить ось вращения ( т.е. направление

\hat{n}

$\hat{\boldsymbol{n}}$ .)

Источником этого является раздел 4.5 «Библии».

Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К.М., 1988. Квантовая теория углового момента.

Суммируя, $U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi)$ можно расширить с точки зрения «обычного» $D$ -функции

\begin{aligned} U_{М М^{'}}^{Дж} (ю; Θ, Φ) "=" \sum_{М^{″}} Д_{М М^{″}}^{Дж} (Φ, Θ, - Φ) е^{- я М^{″} ю} Д_{М^{″} М}^{Дж} (Φ, - Θ, - Φ) . \end{aligned}

$\begin{align} U^{J}_{MM'}(\omega;\Theta,\Phi) =\sum_{M''} D^J_{MM''}(\Phi,\Theta,-\Phi) e^{-i M'' \omega } D^J_{M''M}(\Phi,-\Theta,-\Phi) \, . \end{align}$ Толкование понятно:

D_{M M^{″}}^{J} (Φ, Θ, - Φ)

$D^J_{MM''}(\Phi,\Theta,-\Phi)$ это вращение на

Θ

$\Theta$ вокруг оси

{\hat{y}}^{'}

$\hat y'$ в

x y

$xy$ плоскость, которая была повернута

Φ

$\Phi$ о

\hat{z}

$\hat z$ , и

D_{M^{″} M}^{J} (Φ, - Θ, - Φ)

$D^J_{M''M}(\Phi,-\Theta,-\Phi)$ является обратным вращением. Таким образом, получается вращение вокруг

z^{'}

$z'$ который был повернут

R_{z} (Φ) R_{y} (Θ) R_{z} (- Φ)

$R_z(\Phi)R_y(\Theta)R_z(-\Phi)$ .

Спасибо за отличную ссылку. Кажется, что в параметрах есть некоторая неоднозначность, потому что удобная явная форма $U_{MM^{\prime}}^{J}\left(\omega;\Theta,\Phi\right)=i^{M-M^{\prime}}e^{-i\left(M-M^{\prime}\right)\Phi}\left(\frac{1-i\tan\frac{\omega}{2}\cos\Theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\frac{\omega}{2}\cos^{2}\Theta}}\right)^{M+M^{\prime}}d_{MM^{\prime}}^{J}\left(\xi\right)$ урожаи $\delta_{MM^{\prime}}$ в отличие от $-\delta_{MM^{\prime}}$ для $J=1/2,\omega=2\pi,\xi=0$ . С другой стороны, если $\xi=2\pi$ тогда результат правильный. Возможно $\omega$ ограничивается $[0,2\pi)$ ?
да вроде помню $\omega$ ограничено, поскольку переписка между $\Theta,\Phi$ а углы Эйлера геометрические, но я не могу найти статью, где я это читал. Или, может быть, есть $\pm$ в квадратном корне, который выбирают с помощью геометрического аргумента.
В §4.5.4, посвященном ортогональности и полноте, утверждается, что параметры определены в области $0\leq\Theta\leq\pi,0\leq\Phi<2\pi,0\leq\omega<2\pi$ . Но помимо этого, поскольку $\xi$ определяется $\sin\frac{\xi}{2}=\sin\frac{\omega}{2}\sin\Theta$ кажется, что в нем заложена двусмысленность $d_{MM^{\prime}}^{1/2}(\xi)$ который может быть $\pm\delta_{MM^{\prime}}$ в зависимости от $\xi$ . В свете этого, как правильно поступить в вышеупомянутой ситуации со спин- $1/2$ система с $\omega=2\pi$ (или даже $\omega=4\pi$ , который возвращает исходный спинор)?

Представление вращения вокруг произвольной оси с помощью DDD-матрицы Вигнера

grjj3

Космас Захос

grjj3

grjj3

grjj3

Космас Захос

Фробениус

Ответы (1)

ZeroTheHero

grjj3

ZeroTheHero

grjj3

Что представляют собой антисимметричные матрицы JiJiJ_i в классической механике?

Вращение самого спинового оператора

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Неправильный знак в угловом моменте (квантовая механика)

Как интерпретировать наблюдаемые за спином, построенные нестандартным фазовым выбором?

Использование симметрии для определения пути распада электрона водорода от |300⟩|300⟩|300\rangle до |100⟩|100⟩|100\rangle

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Как группа SU(2)SU(2)SU(2) входит в квантовую механику?