Вращение самого спинового оператора

Если мы рассмотрим функцию

$$f(\lambda) = e^{\lambda A} B e^{- \lambda A},$$ и рассмотрим разложение Тейлора$f(\lambda)$вокруг$\lambda = 0$, то наблюдение, что$f(0) = B$, и $$\frac{df}{d\lambda} = [A,f(\lambda)], \\ \frac{d^2f}{d\lambda^2} = \left[ A, \frac{df}{d\lambda} \right] = [A,[A,f(\lambda)]],$$ д., находим $$e^{\lambda A} B e^{- \lambda A} = B + \frac{\lambda}{1!} [A,B] + \frac{\lambda^2}{2!} [A,[A,B]] + \frac{\lambda^3}{3!} [A,[A,[A,B]]] + \cdots.$$

Теперь рассмотрим частный случай, когда

$$[A,[A,B]] = \beta B,$$ что верно для интересующей вас проблемы. Это приводит к упрощению, когда все термины превращаются в термины, пропорциональные либо$B$или$[A,B]$. Явно, $$e^{\lambda A} B e^{- \lambda A} = B + \frac{\lambda}{1!} [A,B] + \frac{\lambda^2}{2!} \beta B + \frac{\lambda^3}{3!} \beta [A,B] + \frac{\lambda^4}{4!} \beta^2 B + \cdots \\ = B \left\{ 1 + \frac{(\lambda \sqrt{\beta})^2}{2!} + \frac{(\lambda \sqrt{\beta})^4}{4!} + \cdots \right\} + \frac{[A,B]}{\sqrt{\beta}} \left\{ \frac{\lambda \sqrt{\beta}}{1!} + \frac{(\lambda \sqrt{\beta})^3}{3!} + \cdots \right\}.$$ Затем вы можете сравнить это с рядом Тейлора для гиперболических функций, получив $$e^{\lambda A} B e^{- \lambda A} = B \cosh (\lambda \sqrt{\beta}) + \frac{[A,B]}{\sqrt{\beta}}\sinh (\lambda \sqrt{\beta}).$$ В твоем случае,$A = S_z$,$B = S_x$,$\lambda = i \pi$, и$\beta = 1$. Просто подставив в приведенную выше формулу, вы быстро найдете $$e^{i \pi S_z} S_x e^{-i \pi S_z} = -S_x.$$

Как вы знаете,$\vec S= \vec \sigma /2$, так что

$$e^{i\pi \sigma_z/2} = i\sigma_z, ~~\leadsto \\ \sigma_z \sigma_ x \sigma_z =- \sigma_x .$$

Это верно для всех представлений, поскольку спин 1/2 ирреп точен, а вышеприведенное является теоретико-групповым тождеством, присоединенным действием. Это означает, что, поскольку объект находится в алгебре Ли (см. ниже), комбинаторика во всех представлениях будет строго идентична приведенному выше случаю со спином 1/2, и ее не нужно выполнять явно !

Если вы настаиваете на суммировании всего ряда в стандартной лемме Адамара ,

$$e^A B e^{-A}= B + [A,B]+ [A,[A,B]]/2! + ...$$ рекурсивно вложенные коммутаторы также легко вычисляются.