О различных представлениях группы Лоренца и ее определяющих свойствах

Брать$\Lambda$быть матрицей Лоренца, она удовлетворяет$\Lambda^T \eta \Lambda=\eta$. Написав$\Lambda=\exp[-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\mathcal J^{\mu\nu}]$, находим, что образующие удовлетворяют

Теперь мы можем найти любой$n$размерное представление, просто найдя$n\times n$матрицы, удовлетворяющие$(1)$и вычисление матричной экспоненты. Например, представление Дирака дается возведением в степень образующих$\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$, где$\gamma^\mu$– гамма-матрицы Дирака.

Теперь позвольте$S^{\mu\nu}$быть генераторами$n$размерное представление, и написать$M=\exp[-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}]$. Верно ли, что эта матрица удовлетворяет$M^T \eta M=\eta$? Возможно,$T$символ быть$\dagger$вместо? Что следует$\eta$матрица для$n$размерное векторное пространство? возможно это$\eta=\text{diag}(1,-1,-1,\cdots,-1)$, с$(n-1)$отрицательные?

Дело в том, что я пытался проверить$M^T \eta M=\eta$с несколькими представлениями, и это иногда правильно, а иногда нет, что заставило меня задуматься, что я делаю что-то не так. Я проверил свою математику и не нашел ни одной ошибки, так что теперь я думаю, что$M^T \eta M=\eta$в общем-то неверно, но тогда какой смысл искать такую$M$матрица? Зачем нам больше представлений группы Лоренца, если полученные матрицы не обладают этим замечательным свойством? Я знаю, что квантовые поля трансформируются по разным представлениям ЛГ, но почему это должно быть? Почему бы нам просто не взять любое линейное преобразование? Какое нам дело до того, что это связано с Lorentz Group?

Я знаю, что если поле преобразуется как$\phi\to M\phi$, то мы можем составить ковариантные лагранжианы, но это всегда связано с некоторыми свойствами$M$удовлетворяет, независимо от того, связано ли это с$\Lambda$. Например, возьмем любую матрицу, удовлетворяющую$M^T M=1$; затем$\mathcal L=\phi^T\phi$ковариантно, и нам не нужно$M$исходить из представительства LG.

Например, ковариантность лагранжиана Дирака можно легко доказать, заметив, что если поле преобразуется как$\psi\to M\psi$, то верно, что$\bar M \gamma^\mu M=\Lambda^\mu_\nu \gamma^\mu$. Но для доказательства этого отношения нам не нужно использовать$(1)$ничего из группы Лоренца, а просто немного алгебры. Не могли бы мы просто найти больше матриц, удовлетворяющих хорошим алгебраическим соотношениям, которые позволяют создавать ковариантные лагранжианы, матрицы, не связанные с группой Лоренца?