Почему частицы считаются неприводимыми представлениями, говоря простым языком?

Как вы, наверное, знаете, группа Ли физических преобразований квантовой системы действует на гильбертовом пространстве состояний системы посредством (строго-непрерывного проективного-) унитарного представления группы.$G \ni g \mapsto U_g$. Это действие эффективно и на наблюдаемых системы, представленных самосопряженными операторами: действие$g$на наблюдаемых$A$является$U_gAU^*_g$. Последний представляет наблюдаемую$A$после действия преобразования$g$на физическую систему. Это преобразование имеет двойную интерпретацию. Мы можем представить, что он действует либо на систему, либо на систему отсчета, наш выбор не имеет значения в данном обсуждении.

Теперь сосредоточимся на физике. Существуют естественные элементарные системы, называемые элементарными частицами . Эти системы полностью определяются путем фиксации некоторых действительных чисел, соответствующих значениям некоторых наблюдаемых. В самой элементарной версии истории эти числа представляют собой массу$m$которое может достигать нескольких положительных чисел, экспериментально наблюдаемых и регистрируемых, а спин$s$который может достигать любого числа в$\{1/2, 1, 3/2,...\}$. Разные значения пары$(m,s)$означают разные частицы.

Эти числа обладают тем свойством, что они инвариантны относительно действия самой общей группы симметрии , я имею в виду (собственно ортохронную) группу Пуанкаре . Тип частицы имеет одинаковые фиксированные номера$m$а также$s$независимо от системы отсчета, которую мы используем для его описания, и различные системы отсчета связаны преобразованием группы Пуанкаре.

Переходя к теоретическому квантовому описанию элементарной частицы, ввиду моего первоначального замечания, мы обязаны предположить, что ее гильбертово пространство поддерживает представление группы Пуанкаре${\cal P} \ni g \mapsto U_g$(технические детали опускаю). Кроме того, должны быть наблюдаемые, представляющие массу$M$и спина$S$что, с одной стороны, они должны быть инвариантны относительно действия группы, т. е.$U_gM U_g^* =M$а также$U_gS U_g^* =S$для каждого$g \in \cal P$. С другой стороны, они должны принимать фиксированные значения$M=mI$а также$S=sI$.

Вигнер заметил, что достаточным условием для обеспечения справедливости этих ограничений является то, что${\cal P} \ni g \mapsto U_g$является неприводимым .

Верно,$M$а также$S$можно определить с помощью самосопряженных образующих представления, так как они являются элементами универсальной обертывающей алгебры представления алгебры Ли$\cal P$индуцированный одним из$\cal P$сам. Как и ожидалось, находит$U_gM U_g^* =M$а также$U_gS U_g^* =S$для каждого$g \in \cal P$. Но если$U$также неприводимо, переписывая приведенные выше тождества как$U_gM =M U_g$а также$U_gS =S U_g$для каждого$g \in \cal P$, из леммы Шура следует , что$M=mI$а также$S=sI$для некоторых действительных чисел$s,m$.

В подтверждение идеи Вигнера оказывается, что две константы$m$а также$s$действительно достаточно, чтобы биективно классифицировать все возможные сильно непрерывные унитарные неприводимые представления$\cal P$с «положительной энергией» (единственно актуальной в физике) .

Математическая теория представлений${\cal P}$самостоятельно фиксирует возможные значения$s$и они как раз совпадают с наблюдаемыми. значения$m$не фиксируются теорией представлений, где любое значение$m\geq 0$в принципе возможно, но не все$m \geq 0$соответствуют массам наблюдаемых элементарных частиц.

Если у вас есть много элементарных частиц, гильбертово пространство системы является тензорным произведением гильбертовых пространств элементарных частиц, и существует соответствующее унитарное представление группы Пуанкаре, заданное тензорным произведением одиночных неприводимых представлений. Очевидно, что полное представление не является неприводимым.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Я хотел бы уточнить, что неприводимые представления группы Пуанкаре, о которых я говорил выше, являются точными представлениями, квадрат массы которых неотрицательен. Кроме того, есть еще один параметр, классифицирующий неприводимые представления группы Пуанкаре. Это знак, соответствующий знаку энергии. Наконец, не все частицы укладываются в картину Вигнера.