Существует ли конечномерное неприводимое представление? группы Пуанкаре, где переносы действуют нетривиально?

Question

Существует ли конечномерное неприводимое представление? группы Пуанкаре, где переносы действуют нетривиально?

Физика
теория групп
симметрия Пуанкаре
специальная теория относительности
групповые представления
теория представлений

346699

Я прочитал несколько учебников по КТП и обнаружил, что есть два способа классификации частиц или полей. Первый — изучить неприводимое представление группы Лоренца (точнее, универсальной накрывающей группы $SL(2,C)$ ). Тогда мы находим неприводимое, но не унитарное представление $(i,j)$ которые имеют конечную размерность, и использовать их для представления различных видов полей. Второй — изучить унитарное представление группы Пуанкаре, и мы можем классифицировать частицы по массе и спину.

Тогда мой вопрос:

Почему мы не изучаем конечномерное неприводимое представление группы Пуанкаре , подобно группе Лоренца? Некоторые люди скажут, что полезным представлением в квантовой механике является унитарное представление, а некомпактная группа Пуанкаре не имеет конечномерного унитарного представления. Однако этот аргумент неубедителен, потому что он не может объяснить, почему мы до сих пор изучаем конечный представитель группы Лоренца.
Кроме «тривиальной» репрезентации, существует ли какая-либо другая конечномерная неприводимая репрезентация. группы Пуанкаре? Здесь «тривиальный» означает респ. что мы можем получить от увеличения исходного rep. группы Лоренца, позволяя трансляции действовать тривиально в исходном репрезентативном пространстве.

Например, у нас есть верный представитель. группы Пуанкаре, $\begin{pmatrix} \Lambda & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , где $\Lambda$ является преобразованием Лоренца и $x$ является переводом. Это приводимое, но неразложимое представление. Мы всегда можем определить неприводимого представителя. группы Пуанкаре по

ф : (\begin{matrix} Λ & Икс \\ 0 & 1 \end{matrix}) \to Д_{(я, Дж)} (Λ)

$f:\begin{pmatrix} \Lambda & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow D_{(i,j)}(\Lambda)$ где

D_{(i, j)} (Λ)

$D_{(i,j)}(\Lambda)$ является неприводимым представителем. группы Лоренца. Итак, существует ли другое конечномерное неприводимое представление. группы Пуанкаре?

Кажется, мы используем представителя группы Лоренца. классифицировать поля и использовать представителя группы Пуанкаре. классифицировать частицы. Поскольку изометрия пространства-времени Минковского - это группа Пуанкаре, почему мы используем только представление группы Лоренца. классифицировать поля и не принимать во внимание всю группу Пуанкаре?

Вальтер Моретти

Все унитарные неприводимые представления группы Лоренца бесконечномерны. Это причина. По сути, унитарные повторения. группы Пуанкаре изучаются вообще не только группы Лоренца при определении понятия элементарной частицы в смысле Вигнера. При работе с полями трансляционная часть действует тривиально, по этой причине обычно игнорируется при просмотре полей как сечения некоторого векторного расслоения на основе пространства-времени.

346699

@ValterMoretti Спасибо. ACuriousMind и ваш ответ решили вопрос 1,3. Вы имеете представление о вопросе 2?

Вальтер Моретти

На самом деле нет, вы пробовали заглянуть в учебник Барута Рачака по репрезентациям?

Ответы (3)

Существует ли конечномерное неприводимое представление? группы Пуанкаре, где переносы действуют нетривиально?

Все унитарные неприводимые представления группы Лоренца бесконечномерны. Это причина. По сути, унитарные повторения. группы Пуанкаре изучаются вообще не только группы Лоренца при определении понятия элементарной частицы в смысле Вигнера. При работе с полями трансляционная часть действует тривиально, по этой причине обычно игнорируется при просмотре полей как сечения некоторого векторного расслоения на основе пространства-времени.
@ValterMoretti Спасибо. ACuriousMind и ваш ответ решили вопрос 1,3. Вы имеете представление о вопросе 2?
На самом деле нет, вы пробовали заглянуть в учебник Барута Рачака по репрезентациям?

Любопытный Разум · Answer 1

Позволять $\phi : \mathbb{R}^4\to V$ быть полем с (комплексным) целевым векторным пространством $V$ , преобразующееся в конечномерное проективное представление $\rho_\text{fin} : \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{U}(V)$ . Поскольку это поле, представление переводов $\mathbb{R}^4$ на $V$ является тривиальным, так как поле преобразуется как $\phi(x)\overset{x\mapsto x+a}{\mapsto} \phi(x+a)$ . Следовательно, поле преобразуется в конечномерное представление $\sigma_\text{fin}$ группы Пуанкаре, а нетривиальной, т.е. интересной, частью является представление группы Лоренца. Следовательно, ваше предположение о том, что мы «изучаем только конечномерные представления группы Лоренца», неверно, просто конечномерные переносы всегда представляются их тривиальным представлением.

В квантовой теории поля поле теперь становится операторнозначным , действуя на некоторое гильбертово пространство $\mathcal{H}$ . Поскольку квантовая теория поля должна иметь симметрию Пуанкаре, должно существовать проективное унитарное представление $\sigma_\text{U} : \mathrm{SO}(1,3)\ltimes\mathbb{R}^4\to\mathrm{U}(\mathcal{H})$ на этом пространстве состояния. По одной из аксиом Вайтмана имеем, что

о_{плавник} (Λ, а) ф (Λ^{- 1} Икс - а) "=" о_{U} (Λ, а)^{†} ф (Икс) о_{U} (Λ, а) \forall Λ е С О (1, 3), а е р^{4}

$\sigma_\text{fin}(\Lambda,a)\phi(\Lambda^{-1} x-a) = \sigma_\text{U}(\Lambda,a)^\dagger \phi(x)\sigma_\text{U}(\Lambda,a)\quad \forall \Lambda\in\mathrm{SO}(1,3),a\in\mathbb{R}^4$ где слева,

σ_{fin}

$\sigma_\text{fin}$ — конечномерная матрица, действующая на вектор

(ϕ^{1}, \dots, ϕ^{\dim (V)})

$(\phi^1,\dots,\phi^{\dim(V)})$ , а справа -

σ_{U}

$\sigma_\text{U}$ операторы на

H

$\mathcal{H}$ умножаются на каждый компонентный оператор

ϕ^{i}

$\phi^i$ .

Мы изучаем конечномерные представления из-за этого соотношения - мы должны знать конечномерные представления, чтобы иметь возможность дать «классическое» поле, и мы должны знать бесконечномерное унитарное представление, чтобы знать, как действует симметрия Пуанкаре. на состояниях и потому, что неприводимые унитарные представления соответствуют частицам по классификации Вигнера . Поскольку группа Пуанкаре так же некомпактна, как и группа Лоренца, все они также бесконечномерны.

Спасибо. По вашему ответу я понял свой вопрос 1,3. Вы имеете представление о вопросе 2?
@ user34669: Понятия не имею, за исключением того, что они, вероятно, физически не имеют значения. Нам не нужны никакие нетривиальные конечномерные представления переводов, поскольку поля всегда должны преобразовываться тривиально.
Да. нам не нужно рассматривать этот случай в физике. Вопрос 2 представляет чисто математический интерес.
@ACuriousMind Еще раз интересно и указывает на тот решающий факт, что требование унитарности связано с квантовой теорией. Но опять же представление $\sigma_{\text{fin}}$ трансляции на поле заведомо бесконечномерно!! (Если я не пропускаю аргумент, утверждающий, что пространство полей конечномерно...)
@Noix07 $V$ не пространство полей, а конечномерное таргет-пространство полей. Вы правы в том, что существует бесконечномерное представление в пространстве функций, но я не говорю об этом в этом ответе.
«Следовательно, поле преобразуется в конечномерное представление $\sigma_{\text{fin}}$ ": что преобразуется? поле. В каком пространстве? пространство полей, т. е. функций. Итак, поскольку это не упоминалось явно, причина интереса к унитарным представлениям группы Пуанкаре связана с аксиомой квантовой механики, которая говорит, что состояния описываются лучами. Тогда по теореме Вигнера проективные представления на луче можно поднять до истинного представления, как унитарного, так и антиунитарного. И, наконец, для связной подгруппы Пуанкаре, содержащей единицу..
$g\in\mathcal{P}$ можно записать как $𝑔′ \cdot 𝑔′=𝑔$ так что представление должно быть унитарным ( $\rho(g)$ это квадрат $=\rho(g')\circ \rho(g')$ и не может быть антиунитарным). Возможно, я был слишком многозначен в отношении теоремы Вигнера: действие должно сохранять вероятности перехода.

Ричард Шертлефф · Answer 2

Матрицы представителей группы Пуанкаре могут быть найдены путем решения коммутационных соотношений. См. arXiv:math-ph/0401002v3, 2 июля 2007 г. Вывод векторных и импульсных матриц.

мегалео · Answer 3

О пункте 2. В этой статье показаны некоторые нетривиальные конечномерные представления алгебры Пуанкаре. Происходит одна интересная вещь: поскольку группа Пуанкаре не является компактной и непрерывной, мы не можем гарантировать, что представления либо неприводимы, либо полностью приводимы (или разложимы). Действительно, в работе речь идет о неразложимых.

Существует ли конечномерное неприводимое представление? группы Пуанкаре, где переносы действуют нетривиально?

346699

Вальтер Моретти

346699

Вальтер Моретти

Ответы (3)

Любопытный Разум

346699

Любопытный Разум

346699

Noix07

Любопытный Разум

Noix07

Noix07

Ричард Шертлефф

мегалео

Унитарные неприводимые представления маленькой группы SO(3)SO(3)SO(3)

Сомнение в книге Вайнберга по квантовой теории поля

Почему бесконечномерные представления группы Пуанкаре не классифицируются двумя полуцелыми числами?

Прямой продукт против тензорного продукта

Векторные пространства для неприводимых представлений группы Лоренца

Соотношения между спином представлений группы Лоренца и группы Пуанкаре

Представления группы Пуанкаре

Конечномерные представления группы Лоренца

Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Запрещены ли теории спина 1/4?