Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Question

Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Физика
теория групп
Лоренц-симметрия
симметрия Пуанкаре
специальная теория относительности
теория представлений

Томас Баккс

В последнее время я много читал и писал о Вигнеровской классификации неприводимых унитарных единиц (универсальной оболочки) группы Пуанкаре как с точки зрения физика, так и с точки зрения математика. Я пытаюсь связать математическую трактовку (используя работу Макки о системах импримитивности) с физической трактовкой, обычно используемой в учебниках по квантовой теории поля (например, Вайнберга). Мой вопрос заключается в следующем:

При математической обработке вычисляется структура орбит действия универсального накрытия $SL(2,\mathbb{C})$ на $\mathbb{R}^{1,3}$ используя множества уровня лоренцевской формы $\beta$ : для каждой орбиты $O$ и каждые две точки $x,y \in O \subset \mathbb{R}^{1,3}$ , инвариантные длины векторов одинаковы, т.е. $\beta(x,x) = \beta(y,y)$ . Это общее значение обычно обозначается $m^2$ .

В физической трактовке обычно рассуждают с помощью операторов Казимира алгебры Ли группы Пуанкаре, одним из которых является $P_\mu P ^\mu$ , «полный 4-импульс». В силу неприводимости представления, соответствующего элементарной частице, оно должно действовать скаляром, который обозначается $m^2$ также. В этом случае я понимаю, почему это значение следует интерпретировать как массу частицы (см. Массу покоя и классификацию Вигнера , где хороший ответ дает Арнольд Ноймайер).

Мой вопрос заключается в том, как первое «определение» $m^2$ относится ко второму. То есть:

Почему длина вектора в $SL(2,\mathbb{C})$ -орбита равна собственному значению Казимира $P_\mu P^\mu$ ?

Я понимаю, что это очень специфический вопрос, и любые комментарии или мысли (даже те, которые не пытаются напрямую ответить на мой вопрос) приветствуются.

октонион

Каждый вектор в

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ можно считать собственным вектором

P_{μ}

$P_\mu$ . Таким образом, вектор является собственным вектором

P_{μ} P^{μ}

$P_\mu P^\mu$ с собственным значением, равным длине вектора.

Томас Баккс

Можно уточнить первое утверждение? Как именно

P_{μ}

$P_\mu$ воздействовать на

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ сама (по тождеству даже, кажется, утверждаете)? В представлении, связанном с частицей, оператор

P_{μ} P^{μ}

$P_\mu P^{\mu}$ действует в гильбертовом пространстве (поскольку действует группа Пуанкаре, поэтому мы можем перейти к алгебре Ли). Я думаю, что я что-то упускаю.

октонион

У вас есть книга Вайнберга, верно? С точки зрения физика существует семейство состояний, которые являются одновременными собственными векторами четырех

P_{μ}

$P_\mu$ операторы. В обозначениях Вайнберга он называет эти состояния

Ψ_{p}

$\Psi_p$ где

P^{μ} Ψ_{p} = p^{μ} Ψ_{p}

$P^\mu \Psi_p=p^\mu \Psi_p$ . Теперь этот ярлык

p

$p$ который говорит вам, что 4 собственных значения точно соответствуют

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ в «математической перспективе». В книге Вайнберга мы также думаем об орбитах этих состояний в рамках группы Лоренца.

Томас Баккс

Спасибо, это может помочь. Может быть, вы можете указать на конкретные страницы? Если вы сможете превратить свои комментарии в ответ, мой голос будет положительным!

октонион

Это все в главе 2.5, начиная со страницы 62. В частности, примечание 2.5.3, в котором говорится, что унитарное преобразование состояния эквивалентно преобразованию Лоренца собственных значений. Твой

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ это просто пространство 4-импульсных собственных значений

Ответы (2)

Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Каждый вектор в $\mathbb{R}^{1,3}$ можно считать собственным вектором $P_\mu$ . Таким образом, вектор является собственным вектором $P_\mu P^\mu$ с собственным значением, равным длине вектора.
Можно уточнить первое утверждение? Как именно $P_\mu$ воздействовать на $\mathbb{R}^{1,3}$ сама (по тождеству даже, кажется, утверждаете)? В представлении, связанном с частицей, оператор $P_\mu P^{\mu}$ действует в гильбертовом пространстве (поскольку действует группа Пуанкаре, поэтому мы можем перейти к алгебре Ли). Я думаю, что я что-то упускаю.
У вас есть книга Вайнберга, верно? С точки зрения физика существует семейство состояний, которые являются одновременными собственными векторами четырех $P_\mu$ операторы. В обозначениях Вайнберга он называет эти состояния $\Psi_p$ где $P^\mu \Psi_p=p^\mu \Psi_p$ . Теперь этот ярлык $p$ который говорит вам, что 4 собственных значения точно соответствуют $\mathbb{R}^{1,3}$ в «математической перспективе». В книге Вайнберга мы также думаем об орбитах этих состояний в рамках группы Лоренца.
Спасибо, это может помочь. Может быть, вы можете указать на конкретные страницы? Если вы сможете превратить свои комментарии в ответ, мой голос будет положительным!
Это все в главе 2.5, начиная со страницы 62. В частности, примечание 2.5.3, в котором говорится, что унитарное преобразование состояния эквивалентно преобразованию Лоренца собственных значений. Твой $\mathbb{R}^{1,3}$ это просто пространство 4-импульсных собственных значений

Давид Бар Моше · Answer 1

Соответствие между групповыми орбитами и представлениями — очень общий и плодотворный принцип, имеющий множество приложений в физике.

Точнее, это соответствие между коприсоединенными орбитами и унитарными неприводимыми представлениями. Это соответствие было обнаружено А. А. Кирилловым; см. его обзорную статью по этому вопросу.

Соответствие не идеальное (не всегда 1:1). Он идеально подходит для нильпотентных групп Ли; он почти идеален для компактных групп Ли. Для некомпактных групп Ли он не совершенен, но тем не менее включает многие физически важные случаи. Для некомпактных групп Ли типа Пуанкаре, имеющих структуру полупрямого произведения абеля и полупростой группы Ли, соответствие совершенное.

Коприсоединенные орбиты — это орбиты коприсоединенного действия группы Ли на двойственной ей алгебре Ли. В случае группы Пуанкаре это $10$ мерное пуассоновское пространство. Сами орбиты являются симплектическими (в частности, четномерными) подпространствами. В случае группы Пуанкаре в $3+1$ измерения, они являются наборами уровня квадрата массы, а величина вектора Паули-Любаньского имеет вид $j(j+1)$ . Когда орбиты квантуются по правилам геометрического квантования; действие группы на полученное гильбертово пространство осуществляется через неприводимое унитарное представление. Значение углового момента квантуется после геометрического квантования. Точно так же для безмассовых орбит значение спиральности становится квантованным после квантования (оба до полуцелых).

Для группы Пуанкаре в $3+1$ размеры, все явно показано в следующих двух статьях Cariñena, Gracia-Bondía1, Lizzi, Marmo Várilly и Vitale. Кодъюнктное действие явно указано в таблицах 1 и 2 соответственно. См. также следующую статью Кушмана и ван дер Каллена. См. также мой ответ на следующий вопрос PSE , касающийся коприсоединенных орбит в целом.

Современный и обширный обзор теории коприсоединенных орбит и их квантования см. в следующем обзоре Облака (глава 5).

Спасибо, тоже обязательно посмотрю! В случае полупрямого произведения я нашел способ «получить» его явно из индуцированного представления, но я не совсем уверен, что это строго. Я поделюсь этим позже сегодня.

НиндзяДарт · Answer 2

Процесс осуществляется на уровне пешехода таким образом, что он преодолевает разрыв между релятивистской и нерелятивистской теорией, даже добавляя «кэрроловскую» вселенную (называемую здесь «архимедовым» случаем).

Единая структура для симплектической классификации Вигнера
https://fdocuments.net/document/a-unified-framework-for-symplectic-wigner-classification.html

Это можно было бы обобщить, чтобы охватить все кинематические группы в классификации Бакри Леви-Леблона (BLL) - единым образом . Причина единообразия заключается в том, что многообразия Пуассона, связанные с каждой из групп Ли в этой классификации, могут быть объединены в одно многообразие Пуассона. Классификация BLL, по сути, представляет собой трехпараметрическое семейство деформаций Статической группы. Таким образом, соответствующее объединенное многообразие Пуассона получается простым добавлением параметров в виде трех дополнительных координат. Итак, классификация состоит из симплектических слоев комбинированного многообразия Пуассона.

(Это отличается от того, что произойдет, если вы создадите классификацию, начав со статической группы и найдя все ее деформации. Полученное семейство будет немного больше, чем семейство BLL, и совсем неоднородно.)

Таким образом, можно говорить о непрерывном переходе между различными кинематическими группами. Это заменяет метод сокращений группы Ли и полученные с его помощью результаты.

Ключевой момент, на который стоит обратить внимание: единообразие может быть достигнуто только после централизованного расширения всех кинематических групп. Для группы Галилея это дает группу Баргмана, которую правильнее рассматривать как группу симметрии нерелятивистской теории. Во что это деформируется, так это не в группу Пуанкаре, а в ее (тривиальное) центральное расширение. Все члены семейства BLL имеют тривиальные центральные расширения, за исключением тех, которые имеют абсолютную одновременность (в том числе: группы Галилея, статические и две группы Ньютона-Гука). И статическая, и кэрролловская (или «архимедова») группа имеют одно и то же центральное расширение, хотя центральное расширение для статической группы нетривиально.

Это имеет существенное отношение к классификационному вопросу теории относительности следующим образом: наше нынешнее понимание группы Баргмана как правильной группы симметрии для нерелятивистской теории возникло лишь в конце игры, где-то в 1950-х годах, намного позже того времени, когда -релятивистская теория была заменена теорией относительности. Таким образом, это ретро-обновление ньютоновской физики. До этого именно группа Галилея понималась как группа симметрии для нерелятивистской теории.

Но сама относительность была сформулирована с помощью принципа соответствия, связанного с более ранним пониманием нерелятивистской теории. Ретро-обновление последнего также влечет за собой пересмотр принципа соответствия: теперь он должен перенацеливать теорию, которая была отменена, но другой конец стрелки «принципа соответствия», со стороны относительности, не был поднят к соответствовать этому ретаргетингу. Его тоже нужно поднять. Результат добавляет 11-й генератор для тривиального центрального расширения. Это также позволяет прояснить другие, казалось бы, неясные вопросы, например, почему алгебру Дирака необходимо усложнять или почему/как «нуль энергии является относительным» (как это часто утверждается в контексте квантовой теории поля, но не оправдывается с точки зрения теории поля). точки зрения представлений группы Пуанкаре).

Полученная классификация фактически такая же, как и для группы Пуанкаре, но в каждом подклассе появляется дополнительная степень свободы, возникающая из-за дополнительной образующей. Для класса вакуума дополнительная степень свободы соответствует «энергии вакуума».

Более того, семейство BLL в целом допускает единообразное (но в общем случае нелинейное) пятимерное координатное представление, включающее геометрию Баргмана нерелятивистской теории как один из ее случаев. Центрально расширенная группа Пуанкаре связана с геометрией, которая имеет $dx^2 + dy^2 + dz^2 + 2 dt du + (1/c)^2 du^2$ и $ds = dt + (1/c)^2 du$ как его инварианты, причем последний инвариант является дифференциалом для собственного времени $s$ , сам. Геометрия Минковского получается установкой первого инварианта в 0 (т.е. как световой конус в 4+1-мерной геометрии). Для нерелятивистской теории соответствующая геометрия получается заменой каждой из $(1/c)^2$ коэффициенты на 0.

Если позволит время, он может быть написан и обновлен до формы, подходящей для JMP. Но это не первоочередная проблема. Но, вероятно, его следует отредактировать в TeX, очистить и отправить, хотя я предпочитаю журнал IoP.

Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Томас Баккс

октонион

Томас Баккс

октонион

Томас Баккс

октонион

Ответы (2)

Давид Бар Моше

Томас Баккс

НиндзяДарт

Сомнение в книге Вайнберга по квантовой теории поля

Эвристический вывод Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} с использованием комбинации физических и математических аргументов

Почему релятивистские волновые функции должны преобразовываться при преобразовании Лоренца, а не Пуанкаре?

Почему бесконечномерные представления группы Пуанкаре не классифицируются двумя полуцелыми числами?

Прямой продукт против тензорного продукта

Векторные пространства для неприводимых представлений группы Лоренца

Соотношения между спином представлений группы Лоренца и группы Пуанкаре

Представления группы Пуанкаре

Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Существует ли конечномерное неприводимое представление? группы Пуанкаре, где переносы действуют нетривиально?