Соотношения между спином представлений группы Лоренца и группы Пуанкаре

Во-первых, обратите внимание, что, хотя вы можете индуцировать унитарные представления группы Пуанкаре из представлений группы Лоренца, в общем случае они не являются неприводимыми (хотя иногда они таковы), и различные уравнения физического поля (уравнение Дирака, калибровочное условие Лоренца) на самом деле служат как проекторы на иррепов.

Неприводимые унитарные представления фактически строятся с помощью метода малых групп Вигнера. Конструкция довольно техническая; вы можете прочитать полную информацию в (неполных) заметках Фигероа О'Фаррила, которые вы можете найти здесь , которые требуют знакомства с основными пакетами. Итак, чтобы ответить на ваши вопросы:

1. В примечаниях на стр. 18 указано без доказательства, что все унитарные иррецепты построены таким образом. Я, к сожалению, не знаю доказательств.

2. Во-первых, обратите внимание, что для получения полуцелых спиновых представлений необходимо учитывать двойное покрытие группы Пуанкаре.$\mathbb{R}^{(1,3)}\rtimes \text{SL}(2,\mathbb{C})$. Построенные представления также будут представлениями$\text{SL}(2,\mathbb{C})$поскольку она содержится как подгруппа, так что да, определение спина будет таким же. (Я говорю, что$(\frac{1}{2},0)$репрезентация на самом деле не является добросовестным представлением группы Лоренца, а скорее проективным; но это изображение его двойного покрова. Это та же ситуация, что и в нерелятивистском случае с$\text{SU}(2)$и$\text{SO}(3)$). Несколько комментариев:

   • The $(0,0)$,$\left(\frac{1}{2},0\right)$и$\left(0,\frac{1}{2}\right)$представления, индуцированные (двойным накрытием) группы Лоренца, неприводимы, то есть они также индуцированы методом маленькой группы.
   • Спин$1$массивный$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$индуцированное представление распадается как$3$-мерный вектор$\oplus$ $1$-размерные скаляры ирреп, оба построены по методу малой группы; калибровочное условие Лоренца$\partial_\mu A^\mu=0$служит проектором на первый, а второй просто$(0,0)$неотв. Безмассовый «спин»$1$частицы (т.е. фотоны) не могут быть включены в это представление (см. ниже).
   • The $\left(0,\frac{1}{2}\right)\oplus\left(\frac{1}{2},0\right)$представление, очевидно, сводится к проектированию на киральные подпространства, но также можно показать, что уравнение Дирака на самом деле также является проектором на спин$\frac{1}{2}$ирреп, который смешивает обе хиральности.

---

Однако следует отметить еще одну вещь – массу.$m$то, что вы упомянули, что также определяет представительство; в безмассовом случае неуместно говорить о «спине».

Когда масса отлична от нуля, рассматриваемая маленькая группа$\text{SU}(2)$, а метод малых групп состоит в том, чтобы брать его унитарные конечномерные представления, так что мы можем говорить о спине, как обычно. Также видно, что масса индуцирует состояние массы-оболочки при выборе системы покоя для представления, которое действует как уравнение Клейна-Гордона (именно поэтому оно встречается во всех теориях массивного поля). Тот факт, что в этом случае двойное покрытие$\text{SO}_3$это маленькая группа не случайно; это в точности группа симметрий системы покоя.

Однако в безмассовом случае малая группа определяется выражением$\mathbb{R}^2\rtimes\text{Spin}_2$, двойное покрытие евклидовой группы. Поэтому его конечномерные представления более точно обозначаются именем спиральности. Для частицы нет системы покоя, поэтому ее группа симметрии задается вращениями вокруг оси движения*: (двойное покрытие)$\text{SO}(2)$. Наличие$\text{Spin}_2$группа сильно ограничивает возможные представления Лоренца, в которые она может быть встроена; мы не можем, например, описать частицу спиральности$\pm1$с$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$представительство, и мы должны прибегнуть к$(0,1)$и/или$(1,0)$(самодуальные и антисамодуальные поля соответственно).

* Плоская часть$\mathbb{R}^2$действует тривиально, так как мы ищем конечномерные унитарные представления маленькой группы и$\mathbb{R}^2$является некомпактным.