Почему мы должны изначально предполагать, что волновая функция сложна?

Существует фундаментальный результат, уже выдвинутый фон Нейманом, но доказанный только в конце 20-го века Солером (в дополнение к частичному результату, уже полученному Пироном в 60-х годах), который устанавливает (опираясь на теорию ортомодулярных решеток и проективную геометрию ) что общая феноменология квантовой механики может быть описана только с помощью трех типов гильбертовых пространств. (Все фундаментальные теоремы квантовой теории, такие как, скажем, теорема Вигнера, могут быть доказаны в этих трех случаях.) Один — это гильбертово пространство над полем действительных чисел.

В этом случае волновые функции можно считать вещественными функциями, если система описывается в терминах$L^2$. Чистые состояния здесь представляют собой единичные векторы с точностью до знаков, а не до фаз. Поэтому очевидно, что разложение комплексной волновой функции на действительную и комплексную части не является реальной КМ, поскольку в этом случае чистые состояния представляют собой единичные векторы с точностью до$SO(3)$вращения.

Вторая возможность - это та, которая считается «стандартной» в настоящее время, гильбертово пространство над полем комплексных чисел, а чистые состояния являются единичными векторами с точностью до фазы, как хорошо известно.

Третья, весьма экзотическая возможность — это гильбертово пространство, скаляры которого являются кватернионами . Теперь чистые состояния представляют собой единичные векторы с точностью до кватернионных фаз (кватернионные факторы с унитарной нормой).

Эта третья возможность исследовалась несколькими авторами (см., например, книгу Адлера).

На самом деле мы знаем только физические системы, описанные в комплексных гильбертовых пространствах, есть ли фундаментальная причина исключать два других случая?

Кажется возможным доказать, что первая возможность является лишь теоретической по физическим причинам при некоторых гипотезах. Когда кто-то имеет дело с физическими системами, описанными в реальных гильбертовых пространствах, CCR индуцируют сложную структуру, и фактически это эквивалентно работе с комплексным гильбертовым пространством.

CCR$X$а также$P$можно войти в игру двумя разными способами. Вы можете предположить, что ваша теория допускает положение и импульс как фундаментальные операторы, или вы можете предположить, что ваша система ковариантна под действием унитарного неприводимого представления (расширенной) группы Галилея. Я нахожу обе возможности не очень удовлетворительными. С одной стороны, положение не столь актуально (массовые частицы не допускают никакого понятия оператора положения), с другой стороны, группа Галилея не является фундаментальной в современной физике. Вместе со своим аспирантом М. Оппио я недавно обнаружил гораздо более удовлетворительный аргумент ( http://xxx.lanl.gov/abs/1611.09029 , опубликованный в Reviews in Mathematical Physics 29 ).n.6, (2017) 1750021 DOI: 10.1142/S0129055X17500210) ввести естественную уникальную (инвариантную по Пуанкаре) комплексную структуру в квантовую теорию, изначально сформулированную в реальном гильбертовом пространстве, предполагая иметь дело с элементарной системой релятивистской природы, поддерживающей неприводимое представление группы Пуанкаре в терминах автоморфизмов решетки элементарных предложений и допускающее неприводимую алгебру наблюдаемых фон Неймана, порожденную самим представлением (в рамках уточнения идеи Вигнера об элементарной релятивистской системе).

Вопрос требует простого ответа:
поскольку природу можно представить в виде резонаторов, которые реагируют с задержкой, мы привыкли изучать ее с помощью комплексных чисел.

При возбуждении электронной цепи постоянным периодическим источником напряжения (измеряется как действительная функция -$V_0\cos(\omega\cdot\ t)$например) наиболее распространенным ответом является изменение тока, которое не совпадает по фазе с возбуждением:$I_0\cos(\omega\cdot\ t-\phi_0)$например. Это реальный (т.е. не сложный) ответ. Конденсаторы и индуктивности действуют как накопители энергии и подразумевают запаздывающие и действительные отклики. Пример: конденсатор интегрирует ток, т.е. имеет память о прошлом.

Лучший способ изучить реальную реакцию электронных цепей — это комплексный формализм, изобретенный математиками за сотни лет до этого для решения задач по алгебре (начиная с корней кубического уравнения).

Возбуждение/ответ можно представить в виде чистого комплексного числа:
$V_0e^{j\omega t}$/$I_0e^{j\omega t-\phi_0}=ke^{\phi_0}$.
Где напряжение и ток являются проекциями вращающихся векторов в плоскости Аргана на вещественную ось.

Применение «сложного» формализма в КМ настолько же естественно, как и в электронике, пока есть резонаторы, которые реагируют с задержкой .

Эти предметы можно рассматривать с помощью других формализмов, без комплексных чисел:
кватернионы (Гамильтона)
GA - геометрическая алгебра , см. Также Hestenes: Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics

примечания:
задержка ... является глубоким следствием относительности. В «сложной природе» волновой функции нет ничего особенного, и здесь нечего предполагать.
В физике мы используем язык математики, но это разные области, и мы не можем заставить природу принять некий математический формализм.
Все, что можно сделать с помощью сложной алгебры, можно представить с помощью кватернионов. Использование формализма ГА гораздо более интересно как представление физического мира по сравнению с обычным комплексным представлением.