Преобразование координат скалярных полей в КТП

Вот что происходит на самом деле. В классической теории поля основным набором объектов, которые мы часто рассматриваем, являются скалярные поля.$\phi:M\to \mathbb R$где$M$является многообразием. Теперь мы можем задать себе следующий вопрос:

Существует ли естественное представление о том, как скалярное поле, определенное на данном многообразии, «преобразуется» при преобразовании координат?

Я утверждаю, что ответ положительный, и попытаюсь обосновать свое утверждение как математически, так и физически. Суть в том, что нам в конечном счете нужно определить , каким образом поля преобразуются при определенных типах преобразований, но любое старое определение не обязательно будет полезным в математике или физике, поэтому мы должны дать хорошо мотивированные определения, а затем показать, что они верны. полезно для моделирования физических систем.

Математическая перспектива. (многообразия и координатные карты)

Напомним, что система координат (иначе координатная карта) на$n$многомерный многоквартирный дом$M$является (достаточно гладким) отображением$\psi:U\to \mathbb R^n$где$U$является некоторым открытым подмножеством$M$. Мы можем использовать такую ​​систему координат, чтобы определить представление координат$\phi_\psi$скалярного поля$\phi$как

$$\begin{align} \phi_\psi = \phi\circ\psi^{-1}:V\to\mathbb R \end{align}$$ где $V$это образ $U$под $\psi$. Пусть теперь две системы координат $\psi:U_1\to \mathbb R^n$и $\psi_2:U_2\to\mathbb R^n$быть дано такое, что $U_1\cap U_2\neq \emptyset$. Координатное представление $\phi$в этих двух системах координат $\phi_1 = \phi\circ \psi_1^{-1}$и $\phi_2 = \phi\circ \psi_2^{-1}$.

Теперь рассмотрим точку$x\in U_1\cap U_2$, затем$x$отображается в какую-то точку$x_1\in \mathbb R^n$под$\psi_1$и в какой-то момент$x_2\in \mathbb R^n$под$\psi_2$. Поэтому мы можем написать

$$\begin{align} \phi(x) &= \phi \circ \psi_1^{-1} \circ \psi_1(x) = \phi_1(x_1) \\ \phi(x) &= \phi \circ \psi_2^{-1} \circ \psi_2(x) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ так что $$\begin{align} \phi_1(x_1) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ Другими словами, значение координатного представления $\phi_1$оценивается в координатном представлении $x_1 = \psi_1(x)$точки $x$согласуется со значением координатного представления $\phi_2$оценивается в координатном представлении $x_2 = \psi_2(x)$той же точки $x$. Это один из способов понять, что значит для скалярного поля быть «инвариантным» относительно замены координат.

Если, в частности, многообразие$M$мы рассматриваем$\mathbb R^{3,1} = (\mathbb R^4, \eta)$, а именно четырехмерное пространство Минковского, то мы могли бы рассмотреть следующие две системы координат:

$$\begin{align} \psi_1(x) &= x \\ \psi_2(x) &= \Lambda x+a \end{align}$$ где $\Lambda$является преобразованием Лоренца и $a\in \mathbb R^4$, то координатные представления $\phi_1$и $\phi_2$из $\phi$как отмечалось выше, связаны $$\begin{align} \phi_1(x) = \phi_2(\Lambda x + a) \end{align}$$ Если мы немного изменим обозначение и напишем $\phi_1 = \phi$и $\phi_2 = \phi'$, то это читается $$\begin{align} \phi'(\Lambda x +a) = \phi(x) \end{align}$$ это стандартное выражение, которое вы встретите в учебниках по теории поля.

Физическая перспектива.

Вот низкоразмерная аналогия. Представьте температурное поле$T:\mathbb R^2 \to \mathbb R$на плоскости, которая присваивает действительное число, которое мы интерпретируем как температуру в каждой точке на некоторой двумерной поверхности. Предположим, что это температурное поле создается каким-то аппаратом под поверхностью, и предположим, что мы перемещаем аппарат вектором$\vec a$. Теперь мы можем спросить себя:

Как будет выглядеть температурное поле, создаваемое транслируемым аппаратом? Ну и каждая точка в распределении температуры будет переведена на величину$\vec a$. Так, например, если точка$\vec x_0$имеет температуру$T(\vec x_0) = 113^\circ\,\mathrm K$, то после перевода аппарата точка$\vec x_0 + \vec a$будет иметь одинаковую температуру$113^\circ\,\mathrm K$как точка$\vec x_0$до перевода аппарата. Математический способ записи состоит в том, что если$T'$обозначает сдвинутое поле температуры, тогда$T'$относится к$T$к

$$\begin{align} T'(\vec x+\vec a) = T(\vec x) \end{align}$$ Аналогичный аргумент можно было бы привести для скалярного поля в пространстве Минковского, но вместо того, чтобы просто переводить какой-то температурный аппарат, мы могли бы представить усиление или перемещение чего-то, производящего некоторое скалярное поле Лоренца, и мы были бы заинтересованы в определении закона преобразования скаляра. поле при преобразовании Пуанкаре как $$\begin{align} \phi'(\Lambda x+a) = \phi(x) \end{align}$$

Вы можете запутаться в том, что мы имеем в виду, когда говорим, что скалярные поля инвариантны . При преобразовании Лоренца ($x\rightarrow x^\prime = \Lambda x$) скалярное поле ($\phi(x)$) определяется как преобразование

$$\phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(\Lambda^{-1} x^\prime)$$ Итак, мы видим, что в новых координатах $x^\prime$, наше скалярное поле преобразовалось в $\phi^\prime(x^\prime) = \phi(\Lambda^{-1}x^\prime)$. Так же при переводе $x\rightarrow x^\prime = x - a$у нас есть $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(x^\prime+a)$$ или если $a$считается бесконечно малым, находим в первом порядке по $a$ $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x^\prime+a) = \phi(x^\prime) + a^\mu\partial_\mu\phi(x^\prime)$$ В обоих этих примерах поле не трансформировалось (преобразование было тривиальным), а только то, как мы представляем точку. Мы хотим написать точку $x$в терминах нашей новой системы координат ( $x^\prime$) в каждом случае, откуда и происходит это расширение.