Оператор эволюции во времени в картине взаимодействия может быть записан как:

$$U(t,t_{0})=e^{iH_{0}t}e^{-iH(t-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Используя это, мы можем написать: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{2})}e^{-iH_{0}t_{2}}e^{iH_{0}t_{2}}e^{-iH(t_{2}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}=e^{iH_{0}t_{1}}e^{-iH(t_{1}-t_{0})}e^{-iH_{0}t_{0}}$$ Так: $$U(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{0})=U(t_{1},t_{0})$$

Из уравнения Томонага-Швингера:

$$i\partial_{t}U(t,t_{0})=H_{I}(t)U(t,t_{0})$$ Мы можем написать оператор эволюции во времени, используя начальное условие $U(t_{0},t_{0})=1$: $$U(t,t_{0})=1-i\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})U(t_{1},t_{0})$$ Путем итерации получаем, что: $$U(t,t_{0})=1+(-i)\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}H_{I}(t_{1})+(-i)^2\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})+(-i)^3\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int_{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})H_{I}(t_{3})+\dots$$ т.е., $$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}(-i)^n\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})$$

$$U(t,t_{0})=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\mathcal{T}\left(H_{I}(t_{1})H_{I}(t_{2})\dots H_{I}(t_{n})\right)$$ $$U(t,t_{0})=\mathcal{T}\exp\left(-i\int_{t_{0}}^{t}dt'H_{I}(t')\right)$$

Очень интуитивный способ думать об упорядоченной по времени экспоненте:

$$U_{ba} = T \exp\left(-\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_2) \Delta t}\, \mathrm e^{-\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} .$$ Это действительно для $b \geq a$. $\Delta t$равно $\frac{b-a}N$и $t_k = a + k\Delta t$. (Я не уверен, так ли это определено в книге Шварца, но имеет смысл, что это дало бы правильное выражение для пропагатора.)

Ваш (7.49) теперь сразу очевиден (для физиков ;)). Чтобы получить (7.47), нужно понять, что в$U_{ab}$(для$b \geq a$) более поздние времена, на самом деле, не слева. Вместо,

$$U_{ab} = \bar T \exp\left(-\mathrm i \int_b^a V(t) \, \mathrm dt \right) = \bar T \exp\left(\mathrm i \int_a^b V(t) \, \mathrm dt \right) = \lim_{N \to \infty} \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_1) \Delta t} \cdots\, \mathrm e^{\mathrm i\, V(t_N) \Delta t} .$$ Здесь, $\bar T$является антивременным порядком. Вы сразу видите $U_{ab} = U_{ba}^\dagger = U_{ba}^{-1}$. См., например, здесь .

Шварц ведет себя небрежно. Напомним, что операция упорядочения времени сингулярна в совпадающих точках пространства-времени, так что его манипуляции, строго говоря, далеко не оправданы. Ваш скептицизм не является неожиданным. Но его уравнения в любом случае верны, несмотря на его небрежное доказательство.

Чуть более убедительное рассуждение выглядит следующим образом:

Писать$H=H_0+V$, и разреши

$$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\tag1$$

Теперь нетрудно доказать, что$U(t,t_0)$удовлетворяет той же задаче о начальных значениях, что и

$$\mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag2$$ и поэтому они согласны как операторы, $$U(t,t_0)\equiv\mathrm e^{iH_0(t-t_0)}\mathrm e^{-iH(t-t_0)}\equiv \mathrm{Texp}\left(-i\int_{t_0}^tV_I(s)\mathrm ds\right)\tag3$$

Из представления$(1)$вы должны быть в состоянии доказать результаты, заявленные Шварцем, без необходимости манипулировать объектами, упорядоченными во времени. Это должно позволить вам доказать его утверждения с большей строгостью и уверенностью. Я оставляю это вам.

Дополнительная литература: большая часть того, что вы хотите знать, анализируется в упражнении 9.5 в книге Средненицкого по КТП. Вы можете найти подробное проработанное решение в Интернете.