Преобразование Лоренца уравнения Клейна-Гордона

Давайте на время забудем об индексах и воспользуемся цепным правилом:

$$\partial_x\left(f(\lambda^{-1} x)\right) =\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial x} =\lambda^{-1}\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial (\lambda^{-1} x)} \quad.$$ Это объясняет$\Lambda^{-1}$префактор на RHS. Если вы понимаете это, добавление индексов должно быть довольно простым.

Вторая часть вашего вопроса вызвана стандартным злоупотреблением обозначениями. Опять же, давайте на мгновение отключим индексы. С

$$\dfrac{\partial f(s)}{\partial s} \equiv (\partial_s f)(s) \quad,$$ мы можем написать $$\dfrac{\partial f(\lambda^{-1} x)}{\partial (\lambda^{-1} x)} = (\partial_s f)(s) \biggr\rvert_{s=\lambda^{-1}x} = f^{\,\prime}(\lambda^{-1}x) \quad.$$

$\partial_\mu(\phi(\Lambda^{-1}x))$соответствует производная функции$\tilde{\phi}(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$в отношении$x^\mu$:

$$\partial_\mu(\phi(\Lambda^{-1}x)) = \dfrac{\partial \tilde{\phi}(x)}{\partial x^\mu} = \dfrac{\partial \phi(\Lambda^{-1}x)}{\partial x^\mu} \quad.$$ $(\partial_\mu\phi)(\Lambda^{-1}x)$соответствует вычислению производной от$\phi(s)$в отношении$s$, а затем оценивая эту производную в точке$s = \Lambda^{-1}x$: $$(\partial_\mu\phi)(\Lambda^{-1}x) = \left.\dfrac{\partial\phi(s)}{\partial x^\mu}\right|_{s=\Lambda^{-1}x} \quad.$$