Явно покажите ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа

Question

Явно покажите ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа

Микаэль Фремлинг

Я знаю, что уравнение Эйлера-Лагранжа (здесь только в 1D)

(\frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{Икс}} - \frac{\partial}{\partial Икс}) л (Икс, \dot{Икс}, т) "=" 0

$\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x}}-\frac{\partial}{\partial x}\right)L\left(x,\dot{x},t\right)=0$

инвариантен относительно (обратимых) преобразований координат вида $q=q\left(x,t\right)$ . Наиболее просто потому, что вывод по принципу наименьшего действия можно выполнить в любой системе координат. Предположим, однако, что я хочу явно показать, что если EL выполняется для $x$ что он также будет удовлетворен для $q$ путем фактической замены переменных в уравнении.

Я начинаю с переписывания $\frac{\partial}{\partial x}$ и $\frac{\partial}{\partial\dot{x}}$ как

\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial Икс} & "=" & (\frac{\partial д}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}} \\ \frac{\partial}{\partial \dot{Икс}} & "=" & (\frac{\partial д}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} & = & \left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\\ \frac{\partial}{\partial\dot{x}} & = & \left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}} \end{eqnarray*}$ так что мой EL теперь читает

(\frac{г}{г т} [(\frac{\partial д}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}}] - [(\frac{\partial д}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}}]) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left(\frac{d}{dt}\left[\left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]-\left[\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0$

тогда я позволю $\frac{d}{dt}$ действовать правильно и собирать условия, в какой-то момент я должен использовать это $\dot{q}\left(x,\dot{x},t\right)=\frac{\partial q}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}\dot{x}$ и $\dot{x}\left(q,\dot{q},t\right)=\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial q}\dot{q}$ чтобы в итоге получить

(какая-то функция) (\frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial}{\partial д}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left(\mbox{some function}\right)\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial}{\partial q}\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0$

Однако расширение действия $\frac{d}{dt}$ дает ужасный беспорядок, который я не буду воспроизводить для вас.

Тогда возникает вопрос: является ли установка, которую я пытаюсь выполнить выше, правильной (хотя и уродливой) или есть более изящный способ, не использующий принцип наименьшего действия?

Я нашел несколько вопросов, связанных с этим, таких как уравнение Эйлера-Лагранжа в разных системах отсчета , но я не уверен, как их использовать.

Qмеханик

Связанный: физика.stackexchange.com /q/118768/2451 , физика.stackexchange.com /q/144389/2451

Ответы (1)

Явно покажите ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа

Связанный: физика.stackexchange.com /q/118768/2451 , физика.stackexchange.com /q/144389/2451

Женянь Ши · Answer 1

$(\frac{г}{г т} [(\frac{\partial д}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial \dot{Икс}}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}}] - [(\frac{\partial д}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial д} + (\frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс}) \frac{\partial}{\partial \dot{д}}]) л (д, \dot{д}, т) "=" 0$ $\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[\left(\frac{\partial q}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]-\left[\left(\frac{\partial q}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial q}+\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial x}\right)\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right]\right)L\left(q,\dot{q},t\right)=0$

Дорогой Микаэль, если бы ты продвинул свой вывод немного дальше, ты бы получил правильный ответ!

Сначала обратите внимание, что, поскольку вы написали: $q = q(x,t)$ , $q$ не зависит явно от $\dot x$ . Так:

\frac{\partial д}{\partial \dot{Икс}} "=" 0

$\frac{\partial q}{\partial \dot x} = 0$ Кроме того, как вы написали:

\dot{д} "=" \frac{\partial д}{\partial т} + \frac{\partial д}{\partial Икс} \dot{Икс}

$\dot q = \frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x}\dot x$ Которое значит что:

\frac{\partial \dot{д}}{\partial \dot{Икс}} "=" \frac{\partial д}{\partial Икс} просто читая из выражения \dot{д}

$\frac{\partial \dot q}{\partial \dot x} = \frac{\partial q}{\partial x} \quad \text{simply reading from the expression of $\dot q$}$ Таким образом, мы можем упростить исходное выражение до:

(\frac{г}{г т} (\frac{\partial д}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial \dot{д}}) - \frac{\partial д}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial д} - \frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial \dot{д}}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} - \frac{\partial \dot q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$ Чтобы сделать это больше похожим на уравнения EL, мы применяем цепное правило и делаем некоторые перестановки членов:

(\frac{г}{г т} \frac{\partial д}{\partial Икс} \cdot \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} + \frac{\partial д}{\partial Икс} \cdot \frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial д}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial д}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial q}{\partial x} \cdot\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial \dot q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \dot q}+ \frac{\partial q}{\partial x} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$

Обратите внимание, что первые два члена фактически отменяются, потому что:

\frac{\partial \dot{д}}{\partial Икс} "=" \frac{\partial}{\partial Икс} \frac{г}{г т} д "=" \frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial Икс} д

$\frac{\partial \dot q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} q = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial}{\partial x} q$

Итак, теперь нам осталось только:

(\frac{\partial д}{\partial Икс} \cdot \frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial д}{\partial Икс} \frac{\partial}{\partial д}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left( \frac{\partial q}{\partial x} \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial q}{\partial x}\frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$

Но это просто означает:

\frac{\partial д}{\partial Икс} \cdot (\frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial}{\partial д}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\frac{\partial q}{\partial x} \cdot \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$ Поскольку преобразование координат не является сингулярным,

\frac{\partial q}{\partial x} \neq 0

$\frac{\partial q}{\partial x} \neq 0$ , из чего следует, что:

(\frac{г}{г т} \frac{\partial}{\partial \dot{д}} - \frac{\partial}{\partial д}) л (д, \dot{д}, т) "=" 0

$\left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial \dot q} - \frac{\partial}{\partial q} \right) L(q,\dot q,t) = 0$

PS Тот же вывод потерпит неудачу, если $q$ зависит от $\dot x$ . См. ответ Qmechanic на вопрос, который вы цитировали.

@MikaelFremling Если вам нужен вывод в более общем случае в N измерениях, прочитайте это: physics.usu.edu/Wheeler/ClassicalMechanics/…

Явно покажите ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа

Микаэль Фремлинг

Qмеханик

Ответы (1)

Женянь Ши

Женянь Ши

Преобразование обобщенных координат

Влияние изменения координат на уравнения Эйлера-Лагранжа для скалярных полей

Ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа при замене обобщенных координат

Преобразование вектора импульса

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Путаница в полярных координатах Эйнштейна

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Криволинейные координаты и базисные векторы

Волновое уравнение в общей теории относительности, специальной теории относительности и декартовых координатах