Ковариантность уравнений Эйлера-Лагранжа при замене обобщенных координат

I) Уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) ведут себя ковариантно при перепараметризации$^1$формы

$$\tag{1} q^{\prime i}=f^i(q,t),$$

т.е. это эквивалентно репараметризации до или после формирования уравнений EL.

II) Вышеприведенное свойство выполняется даже для лагранжиана$L(q,\dot{q},\ddot{q},\ldots, \frac{d^Nq}{dt^N};t)$это зависит от производных по времени более высокого порядка, хотя в таком случае необходима версия уравнений Эйлера-Лагранжа более высокого порядка с производными более высокого порядка.

III) Однако для репараметризации, зависящей от скорости$q^{\prime }=f(q,\dot q,t)$, который OP упоминает во второй строке (v2), замена до или после обычно приводит к уравнениям EL. различных заказов. Мы ожидаем, что уравнения EL более высокого порядка. всегда факторизовать через соответствующие уравнения EL более низкого порядка, так что решения уравнений EL более низкого порядка. также являются решениями уравнений ЭЛ более высокого порядка. но не наоборот.

Аналогично для репараметризации, зависящей от ускорения, и т. д.

IV) Пример. Рассмотрим репараметризацию, зависящую от скорости.

$$\tag{2} q^{\prime}~=~q+A \dot{q}, \qquad A>0,$$

лагранжиана$^2$

$$\tag{3} L^{\prime}~=~ \frac{1}{2} q^{\prime 2}~=~\frac{1}{2}(q+A \dot{q})^2~\sim~ \frac{1}{2}q^2 +\frac{A^2}{2} \dot{q}^2.$$

(Мы называем$q^{\prime}$и$q$старая и новая переменные соответственно.) Раньше уравнение ЭЛ имело первый порядок в новых переменных$^3$

$$\tag{4} 0\approx q^{\prime}~=~q+A \dot{q},$$

только с экспоненциально затухающими решениями. После репараметризации уравнение ЭЛ имеет второй порядок

$$\tag{5} 0\approx q- A^2 \ddot{q}~=~(1-A\frac{d}{dt})(q+A \dot{q}),$$

чтобы у него было больше решений. Однако обратите внимание, что ур. (5) разложить на множители (=может быть получено из) уравнения. (4) применяя дифференциальный оператор$1-A\frac{d}{dt}$.

--

$^1$Существуют различные стандартные условия регулярности репараметризации (1), такие как, например, обратимость и достаточная дифференцируемость. Неявно предполагается, что высшие струи (скорость, ускорение, рывок и т. д.) трансформируются естественным образом.

$^2$ The $\sim$Знак означает здесь равные по модулю полные члены производной.

$^3$ The $\approx$Знак означает здесь равенство по модулю уравнений ЭЛ.

Когда вы меняете лагранжевы координаты (но это не обязательно означает смену системы отсчета!), поскольку вы имеете дело со струйным пучком над реальной временной линией$\mathbb R$(с указанием предпочтительной координаты$t$определено с точностью до аддитивной константы), у вас есть

$$t' = t+c\quad, q'^k = q'^k(t,q)\:,\quad \dot{q}'^k = \sum_j\frac{\partial q'^k}{\partial q^j} \dot{q}^j + \frac{\partial q'^k}{\partial t}\:.\tag{1}$$ В частности, поскольку требуется, чтобы это преобразование координат было гладким, обратимым, с гладким обратным, возникает также $$\det \left[ \frac{\partial q'^k}{\partial q^j} \right] \neq 0\:,\quad \det \left[ \frac{\partial q^j}{\partial q'^k} \right] \neq 0 \tag{2'}\:.$$ Если, как и вы, вы предполагаете, что функция Лагранжа является скалярной , т. е. $${\cal L}'(t',q', \dot{q}') = {\cal L}(t,q, \dot{q})\quad \mbox{where (1) hold,}\tag{2}$$ вы можете проверить следующее тождество, действительное в любой точке общей кривой (сечения) $t \mapsto \gamma(t):= (t, q(t), \dot{q}(t))$(также описано с другой системой координат) $$\left.\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}'}{\partial \dot{q}'^k} -\frac{\partial {\cal L}'}{\partial q'^k}\right)\right|_{\gamma(t)} = \sum_j\left.\frac{\partial q^j}{\partial q'^k}\right|_{\gamma(t)}\left.\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}^j} -\frac{\partial {\cal L}}{\partial q^j} \right)\right|_{\gamma(t)} \:,$$ где справедливо (2)'.

Как следствие, кривая$t \mapsto \gamma(t):= (t, q(t), \dot{q}(t))$удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа относительно${\cal L}'$и координаты$(t',q', \dot{q}')$тогда и только тогда, когда он проверяет уравнения Эйлера-Лагранжа относительно${\cal L}$и координаты$(t,q, \dot{q})$.