Преобразование вектора импульса

I) (лагранжев) канонический сопряженный импульс

$$\tag{1} p_i ~:=~\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}^i}$$

преобразуется как одноформенный/ковектор

$$\tag{2} p_i~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}$$

при (возможно, зависящих от времени) преобразованиях координат положения

$$\tag{3} q^i~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~f^j(q,t)$$

в позиционном коллекторе$M$(иначе как пространство конфигурации ). Лагранжиан$L(q,\dot{q},t)$и скорость$\dot{q}^i$преобразовать скаляр

$$\tag{4} L(q,\dot{q},t)~=~L^{\prime}(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t)$$

и аффинный вектор

$$\tag{5} \dot{q}^{\prime j} ~=~ \dot{q}^i \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i} +\frac{\partial f^j(q,t)}{\partial t}$$

при преобразованиях координат общего положения (3) соответственно. Из уравнения (5) следует, что

$$\tag{6} \frac{\partial \dot{q}^{\prime j}}{\partial \dot{q}^i} ~\stackrel{(5)}{=}~\frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}.$$

Уравнение (2) следует из уравнений. (1), (4), (6) и цепное правило :

$$\tag{7} p_i ~=~\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}^i} ~=~ \frac{\partial \dot{q}^{\prime j}}{\partial \dot{q}^i} \frac{\partial L^{\prime}(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t)}{\partial \dot{q}^{\prime j}} ~=~ \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}p^{\prime}_j.$$

II) Отметим для полноты, что в гамильтоновом формализме импульсы$p_i$являются независимыми переменными. Набор преобразований (2) и (3) не является самым общим преобразованием фазового пространства

$$\tag{8} (q^i,p_j)~\longrightarrow~(q^{\prime i},p^{\prime}_j) =(f^i(q,p,t),g_j(q,p,t)),$$

даже если фазовое пространство является кокасательным расслоением$T^{\ast}M$и даже если ограничиться симплектоморфизмами .

Можно проверить, что преобразование фазового пространства (8) вида (2) и (3) является симплектоморфизмом. Фактически это каноническое преобразование (КП) 2-го рода с производящей функцией

$$\tag{9} F_2(q,p^{\prime},t)~=~ p^{\prime}_j f^j(q,t).$$

Для определения КТ см. также этот пост Phys.SE. С гамильтоновой точки зрения множество преобразований (2) и (3) — это преобразования, учитывающие структуру слоя кокасательного расслоения$T^{\ast}M$. Однако следует подчеркнуть, что полный набор симплектоморфизмов намного больше, чем набор преобразований (2) и (3). Другими словами: симплектическая структура более грубая, чем структура кокасательного расслоения.

Пример: преобразование фазового пространства

$$\tag{10} q^{\prime i} ~=~ p_i \quad\text{and}\quad p^{\prime}_j ~=~-q^j$$

не имеет формы ур. (2) и (3). Однако это симплектоморфизмы и КП типа 1 с производящей функцией

$$\tag{11} F_1(q,q^{\prime},t)~=~ q^{\prime i} q^i.$$

Тот факт, что верхний и нижний индексы в уравнениях. Несоответствие (10) и (11) отражает, что симплектоморфизм (10) не учитывает структуру слоя кокасательного расслоения$T^{\ast}M$.

Использованная литература:

1. М. Накахара, Геометрия, топология и физика, 2003; Подраздел 1.1.3.

Объекты, которые мы называем векторами в евклидовом пространстве, в более общих ситуациях на самом деле являются двумя возможными различными типами объектов. Если вы измените координаты ($q_i\to q_i'$), компоненты меняются по разным правилам, согласно тому, как якобиан$\Lambda_{ij} = \frac{\partial q'_i}{\partial q_j}$(используя ваши обозначения).

1) Векторы (или касательные векторы, или контравариантные векторы):

Скорости являются важным примером. Если система имеет траекторию$q_i(t)$, его скорость$v_i(t)=\frac{dq_i}{dt}$. Если вы измените координаты, вы получите

$$v_i'=\frac{dq_i'}{dt}=\sum_j\frac{\partial q_i'}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}=\sum_j \Lambda_{ij}v_j.$$

2) Ко-векторы (или кокасательные векторы, или одн-формы, или ковариантные векторы):

Градиент функции является важным примером этого. Если$f(q)$является функцией на конфигурационном пространстве, ее градиент равен$\nabla f_i=\frac{\partial f}{\partial q_i}$. Измените координаты, чтобы получить

$$(\nabla f)'_i=\frac{\partial f}{\partial q'_i}=\sum_j\frac{\partial q_j}{\partial q'_i}\frac{\partial f}{\partial q_j}=\sum_j \Lambda_{ji}^{-1}\nabla f_j.$$

Эти два разных закона преобразования определяют два разных типа вектора. Мы не беспокоимся об этом в евклидовом пространстве, потому что там мы часто просто делаем повороты, где два понятия совпадают.

Преобразование так, как вы написали, потому что импульс на самом деле является ковектором в конфигурационном пространстве. Это видно, например, из того, что$\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$.