Проблема понимания фактора симметрии в диаграмме Фейнмана

Мы выбираем один из$4$z-поля для контракта с одним x-полем. Затем выбираем один из оставшихся$3$z-поля для контракта с одним из$4$w-поля. Оставшиеся два z-поля просто сжимаются сами с собой. Теперь выберите один из оставшихся$3$w-поля для контракта с одним y-полем.

(Здесь мы должны быть осторожны). Есть$2$выбор для сокращения w-поля с одним из$4$U-поля, а затем$3$выбор для другого сокращения wu. При вычислении этой последней комбинации мы пересчитали в множитель$2$.

Чтобы увидеть это яснее, рассмотрим одно из сокращений,

$\phi_a(w)\phi_b(w) \quad\phi_a(u)\phi_b(u)\phi(u)\phi(u)$

Нижний индекс обозначает, какие поля сокращаются, с какими другими полями (я не уверен, как выразить сокращения в Latex).

Есть два способа получить это конкретное сокращение: мы можем либо выбрать первое w-поле, которое будет сжато с первым u-полем, и ТОГДА выбрать второе w-поле, которое будет сжато со вторым u-полем; ИЛИ мы могли бы выбрать второе w-поле, которое будет сжато со вторым u-полем, а ТОГДА выбрать первое w-поле, которое будет сжато с первым u-полем.

Ясно, что оба они эквивалентны. Однако в комбинаторике мы посчитали и то, и другое, и поэтому мы должны делить на коэффициент$2$. Таким образом, общее количество различных сокращений, дающих одно и то же выражение, равное$(4.45)$является

$3! \, \times \, 4 \cdot 3 \, \times \, 4 \cdot 3 \cdot 2 \, \times \, 4 \cdot 3 \, \times \, 1/2$

Где$3!$происходит от перестановки вершин.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Если это не ясно, подумайте о следующем сценарии. Есть два ящика, в первом два предмета,$A$, а также$B$, а во втором еще два,$C$, а также$D$. Сколькими способами можно разделить предметы на пары так, чтобы у каждого предмета в первом ящике был партнер во втором ящике? Ясно, что ответов два:$A,C$а также$B,D$; а также$A,D$а также$B,C$.

Можно подумать, что ответ$2\cdot 2$, но мы видим, что это создает дубликаты

$$\begin{array}{|r|r|} \hline First Pair & Remaining Pair \\ \hline A,C & B,D\\ \hline A,D & B,C\\ \hline B,C & A,D\\ \hline B,D & A,C\\ \hline \end{array}$$

Значит, надо умножить на коэффициент$1/2$исправить пересчет.

Надеюсь, это поможет.

Я не думаю, что объяснение в книге понятно, но вы можете просто проигнорировать его и получить правильный коэффициент.$S=\frac{1}{8}$следующим образом.

1. Начните с рисования 5 изолированных вершин, двух помеченных со степенью один и трех непомеченных 4-валентных вершин. затем $$S=\frac{1}{3!}\left(\frac{1}{4!}\right)^3\times C$$ куда$C$- количество схем сжатия, которые создают данную форму графа. Три вершины играют разные роли в графе, поэтому одна из них$3!$способов выбора этого ролевого назначения (кто является ближайшим соседом$x$так далее.). Тогда коэффициент$4$для$z$нога, что$x$присоединяется к. Так же фактор$3$выбрать, какой из оставшихся$z$ноги переходят к$w$. Затем в$w$есть фактор$4\times 3$выбрать ноги, которые получают$z$а также$y$края. Тогда коэффициент$6$выбрать, какая пара ног у$u$сформирует головастика. Наконец, есть фактор$2$соединить оставшиеся свободные ноги в$u$с двумя оставшимися на$w$. Таким образом$C$это число в вашем вопросе.
2. В качестве альтернативы$S=\frac{1}{|G|}$куда$G$является группой автоморфизмов графа. Точнее пусть$E$будь твоим любимым сетом с$14$элементы (полуребра на картинке). Оборудовать$E$с двумя наборными перегородками$\mathcal{V}$а также$\mathcal{E}$. Последний изготовлен из$7$непересекающиеся пары, соответствующие ребрам. Тогда как$\mathcal{V}$состоит из двух синглетонов и трех блоков по четыре элемента. Здесь$G$это группа перестановок$E$которые сохраняют установленные разделы$\mathcal{E}$а также$\mathcal{V}$а также зафиксировать внешние ножки (что здесь происходит автоматически, потому что картинка ассиметрична в$x$а также$y$). Он генерируется тремя коммутирующими порядками$2$элементы. Для каждого головастика можно переставить соответствующие полуноги. Наконец, происходит обмен двумя ребрами между$w$а также$u$.

1/2 исходит из симметрии диаграммы. В том смысле, что если вы отвернетесь и я поменяю местами два пропагатора, это будет «другая» диаграмма, но вы не сможете сказать. Количество способов сделать это равно 2.

Если бы это были направленные пропагандисты, то это было бы не так.