Преобразование самодуальных и антиавтодуальных тензоров и неприводимость представлений

Я разрабатываю упражнение 2.5 изКнига Маджоре . Частью упражнения является следующее:

Убедитесь, что самодуальные и антисамодуальные тензоры являются неприводимыми представлениями (реальной) размерности три евклидовой группы$SO(4)$, и убедимся, что шестимерное представление$A^{\mu\nu}$из$SO(4)$распадается на свою самодвойственную и антисамодвойственную части.

Рассмотрим тензор антисимметрии$A^{\mu\nu}$. Самодуальные тензоры - это тензоры, которые удовлетворяют:

в то время как анти-самодвойственность есть,

Я мог бы показать, что (если кому-то интересно, могу привести расчет):

т.е. тензор$\tilde A'^{\mu\nu}$трансформируется таким же образом$\tilde A^{\mu\nu}$а$SO(4)$трансформация. (Аналогично для антисамодуального). Другими словами, самодуальный тензор в данной системе отсчета будет (анти) самодуальным тензором в «повернутой» системе отсчета. Затем автор в решении утверждает:

Это означает, что самодуальные и антисамодуальные тензоры являются неприводимыми представлениями$SO(4)$, и что в евклидовом пространстве шестимерный вещественный антисимметричный тензор$A^{\mu\nu}$распадается на свою самодвойственную и антисамодвойственную части.

Мой вопрос: почему это правда? Для меня демонстрация того, что тензоры преобразуются одинаково, просто означает, что если они были неприводимыми представлениями до преобразования, они продолжают оставаться неприводимыми представлениями и после преобразования.

Если я прав, как показать явно, что$\bar A^{\mu\nu}$и$\tilde A^{\mu\nu}$обеспечивают неприводимые представления?

Спасибо.