Преобразование Вейля уравнения Дирака

Ваше второе уравнение по-прежнему является уравнением Дирака в киральном (Вейля) базисе гамма-матриц, которое униформирует$\gamma^0$с$\gamma^k$, и является диагональным по хиральности,$\gamma^5$,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -\mathbb{1} & 0 \\ 0 & \mathbb{1} \end{pmatrix},$$ и все, что вам нужно сделать, это подключить гамма-матрицы.

Я предполагаю, что затем вы захотите перейти к этому базису Вейля от обычного базиса Дирака,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \mathbb{1} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1} \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix}.$$

Унитарное преобразование подобия базиса Дирака

$$\gamma_W^\mu=U^\dagger \gamma_D^\mu U, \qquad U=(1-\gamma_D^5 \gamma_D^0)/\sqrt{2}= \frac{1}{ \sqrt{2}}\begin{pmatrix}\mathbb{1} &\mathbb{1}\\ -\mathbb{1} & \mathbb{1}\end{pmatrix}$$
делает трюк, как задумано, $$U^\dagger\left(i\gamma_D^\mu\partial_\mu- \frac{mc}{\hbar}\right)U ~ U^\dagger\Psi_D = 0,$$ предоставляя кирально развязанное уравнение в базисе Вейля (ваш вектор 2-2), которое вы записали явно.

• Обратите внимание, что я придерживаюсь условностей P&S, WP, слева-вверх-вправо-вниз. Принято тратить 10 минут на сравнение текстов, перевод условностей... Часть курса. Tong, Itzykson & Zuber (приложение A-2) и т. д. различаются.