Хиральность (2+1)D уравнения Дирака

Нет хорошего определения хиральности в (2+1)D или любом другом странном измерении. Это потому, что$\gamma_5$матрица не может быть полезно определена в алгебре Клиффорда с нечетным числом образующих.

Например, попробуйте определить$\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1\gamma^2$. Это коммутирует (не антикоммутирует) с$\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2$и, таким образом, коммутирует со всей алгеброй Клиффорда, включая что-либо вроде оператора четности. В неприводимом представлении это будет просто кратное тождеству.

В (1+1) нет проблем с определением хиральности. Обычное представление алгебры Клиффорда в терминах матриц Паули:

$$\gamma^0=\sigma_2$$ $$\gamma^1=-i\sigma_1,$$ Это хорошее представление, потому что $\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1$диагональна, а гамма-матрицы полностью мнимы. Таким образом, это похоже как на киральное (Вейля) представление, так и на представление Майорана.

Уравнение Дирака принимает ту же форму, только с меньшим количеством измерений пространства-времени.

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi =0.$$ Обозначьте два компонента спинора $\psi = (\psi_L,\psi_R)^T,$то если выписать компоненты уравнения Дирака для безмассового спинора $$\partial_0 \psi_R = -\partial_1 \psi_R$$ $$\partial_0 \psi_L = +\partial_1 \psi_L,$$ что говорит вам $\psi_R$является правосторонней волной и $\psi_L$является леводвижущейся волной. Но, конечно, если вы сохраните массовый термин, две хиральности перепутаются (точно так же, как в 3+1).