Преобразования симметрии в квантовой системе; Определения

Мы определяем преобразование симметрии системы как любое преобразование, которое при выполнении не меняет результат измерения. Теорема Вигнера о симметрии утверждает, что любая симметрия квантовой системы представляется линейным и унитарным оператором, действующим в гильбертовом пространстве физических состояний. ЧАС . Итак, для любой симметрии Е соответствует унитарное преобразование U ( Е ) действующий на ЧАС .

Предполагать А ^ является эрмитовым оператором, соответствующим некоторой наблюдаемой А который имеет собственное значение λ е р с собственным вектором | Φ ⟩ . Тогда, если система находится в состоянии | Ψ ⟩ , вероятность измерения значения λ наблюдаемого А дается правилом Борна;

Проба ( λ , А ^ , Ψ ) "=" | ⟨ Φ | Ψ ⟩ | 2 ⟨ Ψ | Ψ ⟩ ⟨ Φ | Φ ⟩   .
Мы определяем симметрию квантовой системы как такую, которая сохраняет вышеуказанные вероятности. Однако любой унитарный оператор U ~ действующий на ЧАС сохранит эти вероятности;
Проба ( λ , А ′ ^ , Ψ ′ ) "=" | ⟨ U ~ Φ | U ~ Ψ ⟩ | 2 ⟨ U ~ Ψ | U ~ Ψ ⟩ ⟨ U ~ Φ | U ~ Φ ⟩ "=" | ⟨ Φ | U ~ † U ~ Ψ ⟩ | 2 ⟨ Ψ | U ~ † U ~ Ψ ⟩ ⟨ Φ | U ~ † U ~ Φ ⟩ "=" Проба ( λ , А ^ , Ψ ) .
Это означало бы, что любое унитарное преобразование, действующее на ЧАС соответствует преобразованию симметрии системы. Я сомневаюсь, что это правда, так где же я ошибся в своих определениях и как мне это исправить?

Ответы (1)

В квантовой теории существует множество определений симметрии. Однако ваша идея неверна: симметрии, действующие на состояния, меняют результаты измерений , по крайней мере, для одной наблюдаемой. В противном случае речь идет не о симметрии , а о калибровочном преобразовании .

В формулировке гильбертова пространства , и здесь я буду придерживаться этого случая, и в отсутствие правил суперотбора, симметрия — это биективная операция, сохраняющая некоторую структуру пространства состояний или пространства наблюдаемых. Насколько я знаю, есть четыре понятия, и они перечислены ниже.

  1. Вигнеровская симметрия : биективное отображение пространства лучей (единичных векторов вплоть до фаз) в пространство лучей, сохраняющее переходы вероятности .
  2. Симметрия Кадисона : биективное отображение из пространства состояний (положительные трассовые операторы с единичным следом), которое сохраняет выпуклые линейные комбинации состояний, т. е. сохраняет веса смесей чистых состояний.
  3. Симметрия Кадисона в двойственной формулировке : биективное отображение решетки элементарных наблюдаемых (ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве) в себя, сохраняющее ортодополнение о -полная решетчатая структура. Т.е. сохраняет логическую структуру квантовой теории.
  4. Симметрия Сегала : биективное отображение множества ограниченных всюду определенных самосопряженных операторов в то же множество, которое сохраняет структуру йордановой алгебры этого множества, т. е. сохраняет структуру множества наблюдаемых.

Каждое из этих определений может быть физически мотивировано. Все определения приводят к одной и той же теореме характеризации (для 3 и 4 гильбертово пространство должно быть сепарабельным с размерностью ≠ 2 воспользоваться теоремой Глисона).

Теорема [Вигнера-Кадисона-Сигала] . Симметрия типа 1-4 описывается унитарной или антиунитарной (в зависимости от симметрии, если гильбертово пространство имеет размерность > 1 в противном случае допускаются обе возможности). Каждый унитарный или антиунитарный оператор одновременно определяет симметрию типа 1-4.

Фундаментальной симметрией, зависящей от времени и непрерывной по отношению к естественной топологии (в зависимости от типа 1-4), является временная эволюция .

Симметрия типа 1-4 (также зависящая от времени) называется динамической симметрией , если она коммутирует с временной эволюцией.

(Здесь, как более или менее всем известно, возникает теорема, подобная теореме Нётер, как следствие теоремы Стоуна при условии, как я предполагал, что гильбертово пространство комплексно).

Когда в игру вступают правила суперотбора (а именно, центр алгебры наблюдаемых фон Неймана нетривиален), картина становится более деликатной, и, например, понятие Вигнера перестает быть хорошим понятием, потому что то же самое понятие переходной вероятности становится неоднозначны (чистые состояния и лучи не взаимно однозначны). Та же проблема возникает, когда алгебра наблюдаемых фон Неймана допускает неабелев коммутант, как в хромодинамике (даже если центр тривиален).

См. главу 7 в «Фундаментальные математические структуры квантовой теории» Вальтера Моретти (Springer, 2019) и ссылку внутри: Б. Саймон, Квантовая динамика: от автоморфизма к гамильтониану. Исследования по математической физике, Очерки в честь Валентина Баргмана, изд. Э. Х. Либ, Б. Саймон, А. С. Вайтман (издательство Принстонского университета, Принстон, 1976), стр. 327–349.
Это интересный ответ, можете ли вы привести пример измерения, которое меняется после преобразования симметрии?
Действие на чистое состояние с переносом по оси z а . Это симметрия. Все результаты измерений Z на новом состоянии - это результаты старых состояний, переведенные а .
Преобразования симметрии в квантовой системе; Определения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v