При каком космологическом красном смещении zzz скорость удаления равна скорости света? Как это рассчитывается?

Точное число зависит от космологической модели и ее параметров. В специальных релятивистских моделях (например, модели Милна) красное смещение со скоростью света, конечно, бесконечно. Однако во всех жизнеспособных космологических моделях скорости удаления превышают скорость света для объектов с красным смещением более$z\sim 1.5$.

Общая релятивистская связь между скоростью разбегания и космологическим красным смещением:

$$v_{rec}(t,z)=c\dfrac{\dot{R(t)}}{R(0)}\int_0^z{\dfrac{dz^{'}}{H(z^{'})}}$$

Сплошные темные линии и серая заливка на графике показывают ряд моделей FLRW.

Подробнее см.: Расширяющаяся путаница: распространенные заблуждения о космологических горизонтах и ​​сверхсветовом расширении Вселенной .

Если у вас есть красное смещение, связанное с сопутствующим объектом, вы получите два ответа; один для скорости удаления, которую он имел, когда излучал свой свет, и один для скорости удаления, которую он имеет сейчас, когда его свет достигает вас.

Один рассчитывается путем умножения настоящего расстояния на постоянную Хаббла, а другой - путем умножения прежнего расстояния на параметр Хаббла в то время.

Чем выше красное смещение, тем больше разница (например, последняя рассеивающая поверхность с z = 1089 имела скорость удаления 63c, когда она излучала свет, а теперь имеет скорость около 3c, поскольку в прошлом параметр Хаббла был выше).

На этом графике красная кривая — это скорость удаления, когда свет испускался, а коричневая кривая — когда свет достигает наблюдателя (как вы можете видеть, при z = 10 уже есть разница в ≈ 2 раза, и, как и в предыдущем уже упомянутые динамики c находятся на уровне z≈1,5

При z≈1,9 кривые пересекаются, и это была та же скорость удаления, что и сейчас, поэтому объекты с z<1,9 сейчас быстрее, чем они были тогда, а объекты с z>1,9 сейчас медленнее, чем они были в то время. они излучали свой свет:

ось x: красное смещение, ось y: скорость удаления, параметры: Planck 2013

Из уравнения Фридмана расстояние как функция красного смещения:

$$d(z)=\frac{c}{H_0}\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{\Omega_{R_0}(1+x)^4+\Omega_{M_0}(1+x)^3+\Omega_{K_0}(1+x)^2+\Omega_{\Lambda_0}}}$$

Закон Хаббла-Лемэтра:

$$v=H_0 \cdot d$$

Мы хотим$\boxed{v=c}$сейчас. Расстояние, которое удовлетворяет этому условию, известно как текущее расстояние Хаббла (или радиус Хаббла, или длина Хаббла):

$$d_{H_0}=\frac{c}{H_0}$$

Объединяя оба, мы получаем условие:

$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{\Omega_{R_0}(1+x)^4+\Omega_{M_0}(1+x)^3+\Omega_{K_0}(1+x)^2+\Omega_{\Lambda_0}}}=1$$

Для$\Omega_{R_0}\approx 0 \quad \Omega_{K_0}\approx 0 \quad \Omega_{M_0}\approx 0.31 \quad \Omega_{\Lambda_0}\approx 0.69$

Условие:

$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{0.31(1+x)^3+0.69}}=1$$

Путем проб и ошибок мы находим, что значение красного смещения, удовлетворяющее условию, равно$z=1.474 \approx 1.5$

С наилучшими пожеланиями.