При каком представлении U(1) преобразуют электронное и фотонное калибровочные поля?

Я знаю, что под С U ( 2 ) × С U ( 2 ) , левый электрон превращается при ( 1 2 , 0 ) представление и векторное калибровочное поле А мю под ( 1 2 , 1 2 ) .

Поскольку электрон превращается под действием U ( 1 ) , должно существовать представление, при котором оно преобразуется. Что это за представление? У него есть имя?

видимо А мю не преобразуется при одном и том же представлении, что означало бы е α ( Икс ) Вопрос А мю , а вместо этого как А мю + я ∂ мю α ( Икс ) ? Что это за представление?

Я, конечно, понимаю, что трансформация А мю не может быть иначе, чтобы лагранжиан был инвариантным, но это не должно использоваться для его определения.

Математически калибровочное поле не является объектом того же типа, что и другие поля, они представляют соединения en.wikipedia.org/wiki/Connection_(mathematics)
Можете ли вы абстрактно указать, как получаются их свойства трансформации?

Ответы (2)

Электронное поле трансформируется под действием 1 из U ( 1 ) , т. е. генератор я или 1 в зависимости от вашего соглашения/обозначения.

Калибровочные поля преобразуются в присоединенное представление, но они преобразуются как связь, как упоминал @Adam. Другими словами, если ψ → г ψ , затем Д мю ψ → г Д мю ψ подразумевает, что А мю → г Д мю г − 1 . Это немного вводит в заблуждение U ( 1 ) потому что вы не видите неабелевой структуры, но вы поняли идею.

Думаю, это ответ на мой вопрос. Это сложнее, чем я думал, и мне придется читать о присоединенных представлениях, пока я, надеюсь, не пойму это.
Вам следует почитать калибровочную теорию. Там много красивой математики и связей (без каламбура) с дифференциальной геометрией и гравитацией. Вы начинаете с поля и лагранжиана, обладающего некоторой глобальной симметрией. ψ → г ψ . Затем вы превращаете глобальную симметрию в локальную, превращая производные в ковариантные производные (просто математический трюк). Пока А это "чистый калибр" вы ничего не сделали. Но пусть А быть динамичным и выделять все из E&M :) Я думаю, что это очень красиво.
Я пытаюсь читать, но большая часть литературы по физике начинается красиво и медленно с группы Лагранжа, но затем перескакивает вперед, когда дело доходит до калибровочных симметрий. У вас есть рекомендация?
Может быть, квантовая теория поля Райдера? Вы должны иметь возможность запросить его в своей библиотеке. Также «Топология и геометрия для физиков» Нэша и Сена, если вы хотите разобраться и испачкаться, хотя в моем издании было несколько опечаток. Геометрия, топология и физика Накахара тоже хороши.
Вы действительно имеете в виду А мю → г Д мю г − 1 ? Или скорее Д мю → г Д мю г − 1 ? В противном случае я не понимаю, как мы могли бы получить А мю → А мю + я ∂ мю α ( Икс ) в конце концов.
В вашем первом уравнении Д действует только непосредственно вправо, а во втором действует на все, что находится справа от него.

U ( 1 ) является абелевой группой. Абелевы группы имеют только одномерное неприводимое представление. А именно, превращение по фазе (в случае электрона). Заряд фермионного поля пропорционален фазовому коэффициенту. В частности, поле заряда д трансформируется как Ψ → е я д θ ( Икс ) Ψ

РЕДАКТИРОВАТЬ: Как указано в комментариях, предыдущий ответ был неверным.

Спасибо. Итак, утверждение, что «синглет инвариантен относительно преобразований», не имеет смысла/верно для всех групп?
Обычно (наиболее) тривиальное представление остается нетронутым преобразованием, верно? Для U(1) есть только две возможности: либо поле нетронуто (не заряжено), либо принимает фазу (то, что вы назвали тривиальным представлением). Для O (2) (что более или менее U (1)), у вас будет скаляр ф , такой, что г ф "=" ф и вектор В , такой, что г В "=" В ′ "=" р В , где р является ротацией.
@Константин, имейте в виду, что то, что мы называем синглетным состоянием в С U ( 2 ) будет трансформироваться по фазе в U ( 2 ) .
@Prahar, я не думаю, что это верно даже для конечных групп. Для конечных групп количество неэквивалентных ирпов равно количеству классов сопряженности, которое для абелевой группы является порядком группы. Для U(1) существует бесконечно много представлений, помеченных Z (гомоморфизмы U(1) в U(1) вида р н ( е я θ ) "=" е я н θ ). См. en.wikipedia.org/wiki/Circle_group#Representations .
Извини. Думаю, я хотел сказать, что все неприводимые представления одномерны. Мое утверждение действительно неверно. Я отредактировал его.
@ Адам и другие, означает ли это, что разные заряды (0,1/3,2/3,1,...) обозначают разные представления U (1)? А суммирование этих зарядов в термине — это процесс вычисления представления, при котором трансформируется термин?
При каком представлении U(1) преобразуют электронное и фотонное калибровочные поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v