При построении общего усиления Лоренца с использованием усиления по оси ххх, каково второе вращение по отношению к первому вращению?

вы можете получить пространственное преобразование Лоренца, применив два поворота.

мы хотим «привести» оси x в соответствие с осями x', это можно сделать двумя поворотами, сначала поверните вокруг оси z на угол$\varphi$а затем поверните вокруг новой оси Y с помощью ангела$-\psi$. таким образом:

матрица преобразования относительно оси z:

$$S_z=\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&\cos \left( \varphi \right) &-\sin \left( \varphi \right) &0 \\ 0&\sin \left( \varphi \right) &\cos \left( \varphi \right) &0\\ 0&0&0&1\end {array} \right]$$

и о новых осях Y:

$$S_y=\left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&\cos \left( \psi \right) &0&-\sin \left( \psi \right) \\ 0&0&1&0\\ 0&\sin \left( \psi \right) &0&\cos \left( \psi \right) \end {array} \right]$$

с :

$$\varphi=\arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$$ $$\psi=\arctan\left(\frac{v_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\right)$$ и вектор повышения $$\vec{v}=\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ \end{bmatrix}$$ вы получаете пространственное преобразование Лоренца:

$$L_D=S_z\,S_y\,L\,S_y^T\,S_z^T$$ с преобразованием Лоренца$L$

$$L=\left[ \begin {array}{cccc} \gamma&\gamma\,v&0&0\\ \gamma\,v&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0 &0&0&1\end {array} \right]$$

$\Rightarrow$

$$L_D=\left[ \begin {array}{cccc} \gamma&\gamma\,v_{{x}}&\gamma\,v_{{y}}& \gamma\,v_{{z}}\\ v_{{x}}{\gamma}^{2}&{\frac {\gamma \,{v_{{x}}}^{2}+{v_{{y}}}^{2}+{v_{{z}}}^{2}}{{v}^{2}}}&{\frac { \left( \gamma-1 \right) v_{{y}}v_{{x}}}{{v}^{2}}}&{\frac {v_{{x}}v_{{ z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}\\ v_{{y}}{ \gamma}^{2}&{\frac { \left( \gamma-1 \right) v_{{y}}v_{{x}}}{{v}^{2}}} &{\frac {{v_{{x}}}^{2}+{v_{{y}}}^{2}\gamma+{v_{{z}}}^{2}}{{v}^{2}}}&{ \frac {v_{{y}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}} \\ v_{{z}}{\gamma}^{2}&{\frac {v_{{x}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}&{\frac {v_{{y}}v_{{z}} \left( \gamma-1 \right) }{{v}^{2}}}&{\frac {{v_{{z}}}^{2}\gamma+{v_{{x}}}^{2} +{v_{{y}}}^{2}}{{v}^{2}}}\end {array} \right] =\begin{bmatrix} \gamma & \gamma\,\vec{v} \\ \gamma\,\vec{v} & I_3+\frac{\gamma-1}{v^2}\vec{v}\,\vec{v}^T \\ \end{bmatrix}$$

и обратное преобразование Лоренца:

$$L_D^{-1}=L_D(\vec{v}\mapsto -\vec{v})=\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\,\vec{v} \\ -\gamma\,\vec{v} & I_3+\frac{\gamma-1}{v^2}\vec{v}\,\vec{v}^T \\ \end{bmatrix}$$

где$I_3$это$3\times 3$Матрица единства.

редактировать

Что значит "Повернуть назад". на самом деле имеется в виду?

пример:

компоненты вектора углового момента в инерциальной системе:

$$\left(\vec{L}\right)_I=\left[_B^I\,S\right]\, \left(I\right)_B\, \left(\vec{\omega}\right)_B\tag 1$$

где B — индекс Body-Frame, а I — индекс Inertial-Frame.$\left[_B^I\,S\right]$является матрицей преобразования между Body-Frame и Inertial-Frame.$\left(I\right)_B$это$3\times 3$тензор инерции в Body-Frame.

теперь, если компоненты углового вектора заданы в Inertial-Frame таким образом:

$$\left(\vec{\omega}\right)_B=\left[_I^B\,S\right] \left(\vec{\omega}\right)_I$$

и уравнение (1):

$$\left(\vec{L}\right)_I=\left[_B^I\,S\right]\,\left(I\right)_B\, \left[_I^B\,S\right] \left(\vec{\omega}\right)_I=S\,\left(I\right)_B\,S^T\,\left(\vec{\omega}\right)_I$$

«Компоненты» тензора инерции преобразуются

$$\left(I\right)_I=S\,\left(I\right)_B\,S^T$$

то же самое верно для каждого матричного преобразования, такого как матрица Лоренца.

Решение намного проще, чем кажется. Результат по первой ссылке, которую вы предоставляете, верен даже в целом, а предположение во второй ссылке о том, что повороты не связаны, неверно. В общем, связь между двумя вращениями в$\Lambda=R_2\Lambda_xR_1$в том, что$R_1$и$R_2$являются обратными (то есть транспонированными) друг другу.

Теперь давайте аргументируем этот ответ.

Все операции, с которыми мы сталкиваемся в этой задаче, конечномерны (т.е. 4-мерны) и линейны, а значит, могут быть представлены в виде$4\times4$матрицы. Как правило, неособой квадратной матрице можно дать две интерпретации: (1) это изменение базиса из одной системы координат в другую или (2) это линейное преобразование, которое отображает векторы в линейный вектор. пространства к другим векторам в том же самом пространстве. В этой задаче мы, очевидно, интерпретируем повороты как изменения базиса , а усиление — как линейное преобразование .

Даны две базы$A$и$B$для некоторого линейного векторного пространства и линейного преобразования$T$в этом пространстве хорошо известно, что$T$представления в двух разных базах связаны соотношением$T_B=U_{A\to B}T_AU_{B\to A}$(где$U_{A\to B}$является изменением базовой матрицы от$A$к$B$). Понятно, что по определению$U_{A\to B}=(U_{B\to A})^{-1}$. Для любой матрицы вращения$R$,$R^{-1}=R^T$; поэтому теперь очевидно, что усиление Лоренца вдоль любой произвольной оси может быть задано выражением$R^T\Lambda_xR$

Это отвечает на поставленный вопрос, но для конкретики давайте получим общий результат для произвольного лоренцевского буста, используя этот метод.

Во-первых, мы будем использовать формулу, приведенную в этом ответе Math StackExchange , для расчета формы матриц вращения.

Поскольку мы хотим повернуть единичный вектор$\hat n = <n_x,n_y,n_z>$в единичный вектор$\hat x=<1,0,0>$, мы получаем$\hat n \cdot \hat x = \cos(\theta)= n_x$и$\hat n \times \hat x=<0,n_z,-n_y>$. Это дает

$$[v]_\times=\left[ \begin {array}{ccc} 0&n_y&n_z\\ -n_y&0&0\\ -n_z&0&0\end {array} \right]$$

Поэтому из ответа Math StackExchange получаем

$$R = I + [v]_{\times} + [v]_{\times}^2\frac{1}{1+\cos(\theta)}$$

и мы получаем, что$4\times4$матрица вращения

$$R(\hat n,\hat x) = \left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&n_x&n_y&n_z\\ 0&-n_y&1-\frac{n_y^2}{1+n_x}&-\frac{n_y n_z}{1+n_x}\\ 0&-n_z&-\frac{n_y n_z}{1+n_x}&1-\frac{n_z^2}{1+n_x}\\ \end{array}\right]$$

В качестве примечания,$R^T(\hat n,\hat x)=R(\hat x, \hat n)$как и ожидалось.

Матрица для$x$импульс Лоренца по оси

$$\Lambda(\beta\hat x) = \left[\begin{array}{cccc} \gamma&-\gamma\beta&0&0\\ -\gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array}\right]$$

Это приводит к окончательному вычислению матричного произведения

$$\Lambda(\beta\hat n)=R^T(\hat n,\hat x)\Lambda(\beta\hat x)R(\hat n,\hat x)\\ $$

После утомительной алгебры окончательный результат

$$\Lambda(\beta\hat n) = \left[\begin{array}{cccc} \gamma&-\gamma\beta n_x&-\gamma\beta n_y&-\gamma\beta n_z\\ -\gamma\beta n_x&1+(\gamma - 1) n_x^2&(\gamma - 1)n_xn_y&(\gamma - 1)n_xn_z\\ -\gamma\beta n_y&(\gamma - 1)n_xn_y&1+(\gamma - 1) n_y^2&(\gamma - 1)n_yn_z\\ -\gamma\beta n_z&(\gamma - 1)n_xn_z&(\gamma - 1)n_yn_z&1+(\gamma - 1) n_z^2\\ \end{array}\right]$$

которая (по модулю записи) эта матрица повышения , которая является стандартным результатом, цитируемым, например, в Джексоне .