Приложения дифференциальных уравнений с запаздыванием

Что мне приходит на ум, так это недавняя статья Атьи и Мура «Измененный взгляд на фундаментальную физику» .

Я видел дифференциальные уравнения с запаздыванием, используемые при моделировании лазеров, особенно лазеров на квантовых точках. Вот хороший сравнительный обзор использования дифференциальных уравнений с запаздыванием и конечно-разностной модели в лазерах с квантовыми точками.

В гидродинамике часто возможно, чтобы заданная геометрия изолировала различные степени свободы и моделировала дальнодействующие эффекты за счет отсроченного воздействия. Примером этого является «осциллятор замедленного действия» для явления Эль-Ниньо / Южного колебания в океанографии.

Подробнее см. на странице в вики Azimuth здесь .

Часто быстрые степени свободы моделируются шумом, т.е. модель состоит из стохастического дифференциального уравнения с запаздыванием. Пример такой модели можно увидеть здесь, на arXiv.

Помимо приложений в науке о климате и абстрактной статистической физике, этот вид моделирования также важен в инженерных приложениях, где упрощение необходимо для своевременного получения числовых результатов для успешного управления данной системой. Подробности можно найти здесь:

• Гарольд Дж. Кушнер: «Численные методы для управляемых стохастических систем с запаздыванием». (Системы и управление: основы и приложения. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер)

Приложения для биологических систем можно найти в этой монографии:

• Хэл: Смит: «Введение в дифференциальные уравнения с запаздыванием с приложениями к наукам о жизни». (Тексты по прикладной математике 57. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer.)

Я собираюсь привести пример моделирования материалов.

Каучук обладает тем свойством, что требуется время, чтобы приспособиться к условиям, в которых он применяется (вязкоупругость). Поведение этих эффектов при статических нагрузках известно (релаксация).

Однако в связи с широким использованием каучуков в динамических инженерных приложениях (пример: автомобильные шины) в центре внимания стало более тщательное изучение этого свойства с использованием динамических нагрузок и созданием подходящей модели материала ( Lion & Höfer , Lion & Rendek ).

PDE, возникающие из этого, частично являются чисто теоретическими, полученными из обобщенной модели Максвелла в сочетании с феноменологическими эффектами.

Я нашел следующую статью Фредерика Божана и Николаса Мёллера весьма интересной.

Я мало что знаю об этом предмете, за исключением того, что он дает две интересные особенности, которые невозможны с локальными дифференциальными уравнениями, в основном то, что простое уравнение, подобное этому,

для подходящего выбора функции$b$, это уравнение может иметь много начальных состояний, которые приводят к одному и тому же конечному состоянию, поэтому они автоматически создают асимметричное во времени поведение. Вот более подробное и подробное изложение трудностей, особенно в отношении проблемы недостаточности исходных данных.

Другой интересный результат состоит в том, что классический гармонический осциллятор с запаздыванием будет иметь дискретный спектр решений, а не один. Прочитайте это для некоторого обсуждения.