Применение неравенства Клаузиуса к трем системам

Предположим, у нас есть три системы, состоящие из одного и того же количества одного и того же вещества.$S_1, S_2$и$S_3$. Они начинаются с температуры$T_1$,$T_2$,$T_3$такой, что$T_1>T_2>T_3$.

Мы можем разместить системы рядом друг с другом вдоль линии:$S_1 | S_2 |S_3$, где$|$указывает на то, что системы по обе стороны от него находятся в контакте.

Предположим, что этот ряд систем, взятый в целом, можно рассматривать как изолированный. Однако внутри самой линии может происходить обмен теплом и работой между любыми двумя контактирующими системами. Таким образом, три системы начинают приходить в термодинамическое равновесие друг с другом.

В самом начале процесса,$S_1$теряет тепло$\delta Q_{12}$к$S_2$, и$S_2$теряет тепло$\delta Q_{23}$к$S_3$. Энтропии систем изменяются на$dS_1$,$dS_2$и$dS_3$соответственно.

Я хотел бы показать, что$dS_1 + dS_2 + dS_3 > 0$, используя неравенство Клаузиуса. Другими словами, я хотел бы показать, что второй закон термодинамики имеет следствием то, что энтропия для всей цепочки систем возрастает по мере того, как линия достигает внутреннего термодинамического равновесия.

Неравенство Клаузиуса автоматически дает$d S_1 \geq \frac{-\delta Q_{12}}{T_2}$и$d S_3 \geq \frac{\delta Q_{23}}{T_2}$, потому что$S_1$и$S_3$оба находятся в контакте только с$S_2$, то есть при температуре$T_2$.

Но могу ли я использовать неравенство Клаузиуса, чтобы завершить свое рассуждение и сказать:$d S_2 \geq \frac{\delta Q_{12}}{T_1} + \frac{-\delta Q_{23}}{T_3}$? Можно ли и как можно применить неравенство Клаузиуса, когда система находится в контакте с двумя резервуарами с разными температурами?