Существует ли правильная лагранжева формулировка для всех классических систем?

Грубо говоря, физики много думали об этом прямо перед революцией теории относительности и квантовой теории. Генрих Герц свел всю классическую механику к своего рода лагранжевой и гамильтоновой системе и новому принципу наименьшей кривизны. См. Hertz, The Principles of Mechanics , защищено авторскими правами, http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft и Whittaker, Analytical Dynamics , стр. 254ff. Их мысли оказались очень полезными для общей теории относительности, волновой механики и квантовой теории поля.

Идеи Герца о наименьшей кривизне очень близки к идеям Лагранжа.

Всю классическую механику можно поместить в лагранжеву структуру: если энергия не сохраняется (например, если система является открытой системой, если присутствует трение и т. д.), то можно просто приспособиться к изменяющемуся во времени лагранжиану.

Но практическая полезность этой формулировки иногда невелика: вопросы статистической физики требуют иного взгляда на фазовое пространство и систему: ее законы движения почти не имеют значения, а вид информации о траекториях частей системы которые дают вам уравнения Лагранжа, почти бесполезны, вместо этого нужно знать такие вещи, как их автокорреляционные функции, которые почти не зависят от конкретной выбранной траектории или начального условия.

Насколько мне известно, гамильтонова формулировка даже более общая, чем лагранжева, в том смысле, что вы, возможно, не сможете найти лагранжево описание для конкретной системы, которую, тем не менее, можно рассматривать в гамильтоновой структуре. Вспомните, как можно ввести гамильтоновский формализм: мы определяем обобщенные импульсы$p_k=\partial L/\partial \dot q_k$и заметьте, что

, где есть сумма по индексам$r,s$и где мы разложили кинетическую энергию как сумму члена, квадратичного по обобщенным скоростям, одного линейного и постоянного (как это всегда можно сделать, учитывая голономные ограничения). Симметричная матрица$\{a_{ks}\}$обратим, поэтому$\dot{q_s}=\phi_s(q,p,t)$. Все это говорит о том, что уравнения Лагранжа всегда можно привести к нормальной форме:

Мы можем определить гамильтониан$H(q,p,t)$с помощью обычных преобразований Лежандра и вывести уравнения движения Гамильтона. Как только мы разработали гамильтоновский формализм, мы можем забыть, как мы к нему пришли, и обращаться с$q$и$p$как независимые переменные. Можно ли вернуться к уравнениям Лагранжа и доказать эквивалентность этих двух формализмов? Да, но только при очень общем условии: учитывая гамильтониан и уравнения Гамильтона, должна быть возможность выразить$\dot{q}$как функции канонических координат. Если можно, определите$L=p_k\partial h/\partial p_k-H$, где понимается, что сейчас$L$рассматривается как функция$(q,\dot q,t)$. Отсюда можно доказать, что тогда должны выполняться и уравнения Лагранжа. Итак, нет, не все механические системы имеют лагранжево описание, поскольку вы можете начать с гамильтониана и обнаружить, что соотношения, которые дают$\dot q$с точки зрения$(q,p)$не являются обратимыми. Гамильтониан может быть очень общей функцией, не обязательно разложимой на кинетический и потенциальный члены. Кстати, полная производная от$H$равен своей частной производной по времени; так$H$является энергией, только если$H=H(q,p)$, то есть ограничения не зависят от времени.

Есть некоторые классические системы, которые не могут быть описаны в лагранжевом формализме, например, частицы со спином или поляризацией. Но для этих систем существует действительный гамильтониан!

Кроме того, можно перейти от любого лагранжиана к формализму Гамильтона (тогда H может быть многозначной функцией). Таким образом, последний является «более фундаментальным».

(Подробнее см. Сурио: Структура динамических систем: симплектический взгляд на физику, сайт XXI, например, http://books.google.de/books?id=4tBrbryIKQAC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false )