Уравнение Шрёдингера как уравнение Эйлера-Лагранжа

1. Как правильно указывает JamalS в своем ответе :

   • Квантовые действия в КТП могут иметь$\hbar$-зависимость.

   • Если мы просто хотим стационарного принципа действия для TDSE и рассматриваем функционал действия только как математический инструмент без физических следствий, выходящих за рамки уравнений EL , то$\hbar$- зависимость не имеет значения.

2. Однако, возможно, дискомфорт ОП в связи с выводом TDSE Махана вызван следующим более глубоким вопросом:

   Как мы можем получить правильный квазиклассический предел$^1$и расширение цикла$^2$вторично-квантованного интеграла по траекториям$^3$

   $$Z~=~\int\! {\cal D}\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}}{\cal D}\frac{\psi_2^{\ast}}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right),\tag{1}$$ если действие Шредингера$S$зависит от$\hbar$, чтобы различные части действий$S$шкалы / подавляются неоднородно в квазиклассическом пределе$\hbar\to 0$?

   Это хороший вопрос. Ответ заключается в том, что существуют неявные скрытые$\hbar$-зависимость, т.е. нужно масштабировать переменные

   $$\psi~=~\frac{\psi_2}{\sqrt{\hbar}},\qquad m~=~\hbar m_2,\qquad U~=~\hbar U_2,\tag{2}$$ получить классический ($\hbar$-самостоятельное) действие$^4$ $$\begin{align} S~=~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i\hbar \psi^{\ast}\dot{\psi}-\frac{\hbar^2}{2m} |\nabla\psi|^2 -U|\psi|^2 \right)\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\int \! \mathrm{d}t ~\mathrm{d}^3r \left( i \psi_2^{\ast}\dot{\psi}_2-\frac{1}{2m_2} |\nabla\psi_2|^2 -U_2|\psi_2|^2 \right) ,\end{align}\tag{3}$$ и восстановить расширение контура коррекции.

--

$^1$О квазиклассическом пределе см., например, этот пост Phys.SE.

$^2$Для$\hbar$/loop-expansion, см., например, этот пост Phys.SE.

$^3$Здесь нижний индекс 2 относится к правильно нормализованной формулировке вторичного квантования.

$^4$Шварц, раздел 22.1, с. 395, указывает, что константа связи$\frac{1}{m}$имеет отрицательную массовую размерность и, следовательно, соответствует неперенормируемой связи.

Во-первых, можно думать об этом как о математической, а не физической процедуре. В конце концов, вы просто строите функционал,

чья экстремизация,$\delta S = 0$приводит к уравнению Шрёдингера. Однако лагранжианы, содержащие$\hbar$не редкость. В квантовой теории поля можно построить эффективные действия на основе вычисления диаграмм Фейнмана, которые могут иметь коэффициенты$\hbar$, вне натуральных единиц.