Откуда берутся члены массовой поляризации в гамильтониане многих тел? Почему их иногда опускают?

Я никогда не слышал об этом раньше, и это кажется довольно странным, но у меня есть предположение, которое кажется единственной разумной вещью, которая может происходить. Кинетическая энергия одной частицы определенно не зависит (принципиально) от того, что делает другая частица. Она лишь косвенно зависит от других частиц посредством взаимодействий (т.е. потенциалов или калибровочных полей). Автор должен иметь в виду своего рода аппроксимацию Борна-Оппенгеймера, в которой некоторое подмножество взаимодействий учитывается или фиксируется заранее, оставляя корреляции между оставшимися степенями свободы. Итак, вот мое предположение о том, что происходит.

Если у вас есть две частицы одинаковой массы с импульсами$\vec{p}_1,\vec{p}_2$тогда полная энергия

$$H = \frac{\vec{p}_1^2}{2m} + \frac{\vec{p}_2^2}{2m} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Теперь представим общее$\vec{P}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$и относительный импульс$\vec{p}=(\vec{p}_1-\vec{p}_2)/2$тогда гамильтониан становится

$$H = \frac{\vec{P}^2}{2M} + \frac{\vec{p}^2}{2\mu} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2),$$

где$M=2m$это общая масса и$\mu=m/2$уменьшенная масса. Теперь, если вы пренебрежете относительным импульсом, потому что две частицы жестко связаны и всегда движутся вместе, тогда вы получите

$$H \approx \frac{\vec{P}^2}{2M} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Наконец, заменив обратно, вы получите перекрестный термин$\propto \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2$типа, упомянутого в статье, и массы$M$действительно относится к массе конгломерата нескольких частиц. Вы также можете сделать это, если потенциал таков, что вы можете разделить задачи центра масс и относительного движения и решить проблему относительного движения самостоятельно. И эта идея должна прямо распространяться на$N$случай частицы. Я оставляю это вам.

Термин массовой поляризации возникает, когда мы также рассматриваем движение ядра (или, другими словами, придаем ему конечное количество массы). Кинетическая энергия атома с ядром массы$M$и заряжать$Ze$и$N$электроны массы$m$и заряжать$-e$можно записать как:

$$T=-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{R_0}^2+\sum_{i=1}^N \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{R_i}^2\right)$$ где мы обозначили координаты ядра с $R_0$и электроны с $R_i$.

Теперь переходим к центру масс рамы; мы определяем новые координаты$(\vec R,\vec r_1,\vec r_2,\dots,\vec r_N)$, где:

$$\vec R=\frac{1}{M+Nm}(M\vec{R_0}+m\vec{R_1}+\dots+m\vec {R_N})$$ является центром масс и $$\vec{r_i}=\vec{R_i}-\vec{R_0}$$ являются относительными координатами. Из приведенных выше двух уравнений легко убедиться, что: $$\nabla_{R_0}=\frac M{M+Nm}\nabla_R-\sum_{i=1}^N \nabla_{r_i}$$ $$\nabla_{R_i}= \frac{m}{M+Nm}\nabla_R+\nabla_{r_i}$$ Следовательно, у нас будет: $$\nabla_{R_0}^2=\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R . \nabla_{r_i}+\left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2$$ $$\nabla_{R_i}^2=\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2$$

Теперь, подставив их обратно в исходное уравнение, мы получим:

$$\begin{align} T=&-\frac{\hbar^2}{2M}\left(\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R \cdot \nabla_{r_i}+ \left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2\right)+\\ &\quad\sum_{i=1}^N\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2\right)\right)\\ =&-\frac{\hbar^2}{2(M+Nm)^2}(M+Nm)\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j}-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2\\ =& -\frac{\hbar^2}{2(M_{tot})}\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2 -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j} \end{align}$$ где последний член поляризации массы.