Вопрос

Я не понимаю, как я могу получить выделенную желтым цветом секцию на правой стороне из левой.

Следующее уравнение можно найти как в моих заметках к лекциям (*1) (стр. 9, уравнение 2.7), так и в качестве задачи 2-6 в книге Фейнмана и Хиббса « Квантовая механика и интегралы по траекториям» (стр. 36).

$$\require{color} \tag{9} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = L(x_b,\dot{x}_b,t_b) = \colorbox{yellow}{ $\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b$ }$$

Ниже приведен соответствующий раздел заметок, использованных для получения выражения, а также моя собственная попытка получить выражение на RHS.

Пытаться

Используя (8) и интегрируя обе стороны (не совсем уверен, что смогу это сделать!),

$$\tag{13} S_{cl} = p_b x_b$$

поэтому, используя правило произведения и снова (8) для$p_b$во второй срок,

$$\tag{14} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{d p_b}{d t_b}x_b + P_b\frac{d x_b}{d t_b} = \frac{d p_b}{d t_b}x_b + \frac{d S_{cl}}{d x_b}\dot{x_b}$$

Однако у меня сейчас две проблемы:

1. У меня правильные производные на правой стороне, а не частные производные
2. Я могу получить только$S_{cl}$в первый срок путем лечения$x_b$как независимый от$t_b$и используя (14).

Вывод

Этот вывод скопирован непосредственно из примечаний, упомянутых выше на стр. 9. Соответствующее уравнение (8)

Действие для пути$x(t)$,

$$\tag{1} S[ x ( t ) ] = \int^{t_b}_{t_a} L\left(x,\dot{x},t\right) dt$$

где$L$является лагранжианом. Теперь, используя принцип наименьшего действия: классический путь$\bar{x}(t)$является экстремумом функционала S,

$$\tag{2} \left.\frac{\delta{S}}{\delta{x}} \right|_{x=\bar{x}}= 0$$

где$\delta{S}/\delta{x}$является функциональной производной. Для небольшого варианта пути:$x(t) \to x(t) + \delta x(t)$:

$$\tag{3} \delta S = S[x + \delta x] − S[x] = \int_{t_a}^{t_b} dt\ L\left(x + \delta{x},\dot{x} + \delta{\dot{x}},t\right) - L\left(x,\dot{x},t\right)$$

Использование 2D-разложения Тейлора вокруг$\delta{x},\delta{\dot{x}}$мы получаем

$$\tag{4} \delta S = \int_{t_a}^{t_b} dt\ \left( \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\delta \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right) +\mathcal{O}(\delta x^2)$$ Теперь интегрируя по частям,

$$\tag{5} \delta S = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right]^{t_b}_{t_a} - \int_{t_a}^{t_b} dt\ \left( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \right) - \frac{\partial L}{\delta \dot{x}} \right) \delta x +\mathcal{O}(\delta x^2)$$

Если конечные точки пути фиксированы, т.е.$\delta x(t_a) = \delta x(t_b) = 0$, то получаем уравнение Лагранжа для классического пути,

$$\tag{6} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \right) - \frac{\partial L}{\delta \dot{x}} =0$$

Учитывая ценность действия$S$по классическому пути,$S_{cl} \equiv S[\bar{x}(t)]$:$S_{cl}$будет функцией конечных точек, т.е.$x_a, t_a, x_b$, и$t_b$.

Изменение конечной точки$(x_b, t_b)\to (x_b, t_b) + (\delta x_b, \delta t_b)$, но держи$(x_a, t_a)$зафиксированный. Уравнение Лагранжа выполняется для классического пути. Мы выбираем$\delta t_b = 0$и помните канонический импульс$p$сопряжено с$x$как$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$получить,

$$\tag{7} \delta S_{cl} = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right]^{t_b}_{t_a} = \left[ p\delta x \right]^{t_b}_{t_a} = p(t_b)\delta x_b −p(t_a)\delta x_a =p(t_b)\delta x_b$$ Следовательно,

$$\tag{8} \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b} = p_b$$

Теперь учитывая$\frac{dS_{cl}}{dt}$. Из (1) мы можем написать:

$$\require{color} \tag{9} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = L(x_b,\dot{x}_b,t_b) = \colorbox{yellow}{ $\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b$ }$$

Это дает,

$$\tag{11} \frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} = L − p_b\dot{x}_b =−E_b$$ $$\tag{12} E_b = -\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b}$$ где $E_b$является функцией энергии или гамильтонианом .

Рекомендации

(*1) Брайан Пендлтон, Квантовая теория, Эдинбургский университет, 2015 г.