Принцип неопределенности для полностью локализованной частицы

Происхождение вашей проблемы уже было объяснено в предыдущих ответах, позвольте мне сделать это немного подробнее. Лучше думать о какой-то нормализуемой волновой функции, чем о$\delta$-сама функция. Как вы, наверное, знаете, вы можете подобраться сколь угодно близко к$\delta$-функцию, сделав волновой пакет узким и приняв подходящий предел (конкретный пример см. ниже).

Теперь вы правы в том, что можете локализовать свою частицу в сколь угодно узкой области вокруг$x=0$. Вы даже можете сделать его «статическим» в том смысле, что среднее значение (значение квантового ожидания) его импульса будет и останется равным нулю. Однако принцип неопределенности говорит вам, что как только разброс (дисперсия) координат$\Delta x$очень мал, разброс импульса$\Delta p$будет очень большим. Следовательно, даже если вы изначально локализуете частицу в очень узком волновом пакете, со временем он будет быстро расширяться. На самом деле это уширение будет тем быстрее, чем острее была первоначальная локализация частицы. Если волновая функция изначально гауссова, то для свободной частицы можно точно решить уравнение Шредингера и увидеть, что волновая функция остается гауссовой , просто ее ширина растет (асимптотически как$\sqrt t$). Так что через какое-то время частица уже не локализована, как следствие того же принципа неопределенности.

Даже если частица не свободна, а движется в некотором потенциале, создавая начальный волновой пакет при$t=0$очень узкое приведет к такому же растеканию, поскольку средняя кинетическая энергия (которая пропорциональна$\Delta p^2$если средний импульс равен нулю) намного больше, чем изменение потенциальной энергии в пределах размера волнового пакета.

Однако в моем приведенном выше аргументе есть одна оговорка. Если одновременно с сужением волнового пакета удерживать частицу все более сильным потенциалом, то можно сохранить ее локализованной. Рассмотрим в качестве модели гармонический осциллятор, определяемый гамильтонианом

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что$\Delta(x)\cdot\Delta(p)\ge \hbar$.

Это означает, что для измерения положения$x$теряется знание значения импульса, удовлетворяющего неравенству.

Ваши предположения об аргументе импульса неверны.

поскольку частица полностью статична, ее скорость должна быть равна 0, как и ее импульс

Полная статика (что в любом случае не является квантово-механической возможностью) означает, что$\Delta p$бесконечно мало, а это означает, что положение$x$неизвестно, сохраняется ли неопределенность Гейзенберга.

Это две разные ситуации QM.

Вы можете локализовать частицу в сильном потенциале, подобно атомному. Возьмем электрон в поле атомного ядра$Z$и посмотрите на его локализацию, когда$Z\to\infty$. У вас есть волновые функции пространства и импульса, которые отвечают на ваши вопросы. В частности, не может быть статического локализованного электрона, но вращающегося вокруг ядра.

1) Представьте, что волновая функция при$t=0$полностью локализуется в$x=0$,

с

и

2) Чтобы ответить, эволюционирует система или нет, рассмотрим волновую функцию$\Psi(x,t=t_1)$на какое-то будущее время$t=t_1>0$. Если волновая функция$\Psi(x,t)$должны оставаться локализованными в$x=0$, мы должны потребовать, чтобы позиционный оператор$\hat{x}$коммутирует с гамильтонианом$\hat{H}$. В реальной системе это не так (из-за кинетической части в$\hat{H}$). Вместо этого волновая функция распространяется

это означает, что существует ненулевая вероятность того, что частица будет двигаться влево или вправо в пространстве положений. Все еще может случиться так, что импульс в среднем будет равен нулю,

Но это не означает, что нельзя было записать ненулевое измерение импульса при$t=t_1$.