Проблема с QED

Вы должны принять во внимание, что$\bar{\psi}\gamma^0\psi=u^2-v^2$, что положительно для частиц и отрицательно для античастиц.

Нужно различать случаи: 1) связанные состояния и 2) рассеяние свободных частиц.

1. Связанные состояния:

Как уже отмечалось, решения с положительной и отрицательной энергией связаны одной и той же связью.$e$с одним и тем же знаком, т.е. оба описывают электроны. Поэтому, если кто-то хочет описать позитроны в связанном состоянии, он действительно должен использовать заряженное сопряженное решение:

где$C$— матрица зарядового сопряжения, которая может варьироваться в зависимости от представления спинора Дирака. В одном из простейших представлений это

Сопряжение заряда превращает электронные решения с отрицательной энергией в растворы позитронов с положительной энергией.

2. Рассеяние

Для описания рассеяния формализм$2^{nd}$можно использовать квантование. В этом случае решение уравнения Дирака$\psi$рассматривается как (полевой) оператор$\hat{\psi}$действующий на фоковское пространство:

где$a^s_\mathbf{p}$и$b^{s\dagger}_\mathbf{p}$операторы уничтожения электронов и операторы рождения позитронов. Фактически выбирая в качестве «коэффициента» отрицательного энергетического решения$v(p)$оператор создания (обратите внимание, что оператор уничтожения был бы другим выбором) делает соответствующее решение$v^s(p)$на уходящую частицу (другого вида, потому что это другой оператор ($b$) и не$a$-оператор), который затем можно интерпретировать как бегущий во времени в обратном направлении "входящий" --- т.е. из будущего в настоящее --- электрон, который в силу интерпретации может рассматриваться как уходящий позитрон. Формализм$2^{nd}$квантование в сочетании с диаграммами Феймана делает это возможным. Правила диаграмм Фейнмана должны применяться строго. В частности, рассеяние позитронов описывается в этом формализме как ($p$- 4-импульс влетающей частицы, тогда как$p'$есть 4-импульс рассеянной вылетающей частицы).

где$\bar{v}(p)$описывает входящий «позитрон» и$v(p')$уходящий «позитрон», тогда как в случае рассеяния электронов ток рассеяния имеет вид:

т. е. влетающий электрон описывается выражением$u(p)$а рассеянный вылетающий электрон описывается выражением$\bar{u}(p')$, то есть позиции$u$и$v$в текущем меняются местами. Поэтому решения$v(p)$не являются подлинными, скажем, положительно заряженными частицами. Настоящие противоположно заряженные частицы будут иметь такой же ток рассеяния, как и ток электронов.$\bar{u}(p')\gamma^\mu u(p)$(Вспомните верхний и нижний кварки, которые описываются уравнением Дирака, но имеют противоположный знак (заряд) и не являются парой частица-античастица).

На самом деле можно использовать и описание с использованием оператора зарядового сопряжения$C$для описания токов рассеяния, а в описанном выше формализме$2^{nd}$квантование же может быть достигнуто гораздо проще.

Фейнмановская интерпретация растворов с отрицательной энергией как позитронов преобладала настолько сильно, что большинство людей считают$v(p)$как позитронные растворы, но их нет. Они являются электронными решениями решений с отрицательной энергией (или частотой), потому что они связаны с той же константой связи с электромагнитным полем, что и решения с положительной энергией.

Наконец, я бы сказал, что уравнение Дирака не является проблематичным, нужно только иметь дело с информацией, которую оно предоставляет соответствующим образом.

См. также мой пост. Ставит ли уравнение Дирака заряд и вращение на одну и ту же основу?

получаем, что и частицы, и античастицы создают одинаковый электрический потенциал

Нет, не знаем. Уравнение Дирака с одной частицей проблематично, поэтому его нужно немного подправить. Либо вы предполагаете, что компоненты спинора Дирака являются грассмановыми (или удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям), либо вы говорите, что античастицы — это не состояния с отрицательной энергией, а дыры в море состояний с отрицательной энергией.