Как правильно определить производную одной операторнозначной функции?

Могут возникнуть некоторые проблемы с правильным определением производной для произвольных неограниченных операторов. Это потому, что, насколько мне известно, нет подходящего определения топологии на множестве неограниченных операторов.

Если ограничиться замкнутыми операторами (такими как самосопряженные операторы), действующими в гильбертовом пространстве$H$, то можно определить метрику. Тогда множество замкнутых операторов становится (неполным) метрическим пространством$\mathcal{C}(H)$. Прежде чем обсудить (кратко), что такое метрика, позвольте мне заметить, что$\mathcal{C}(H)$ не является линейным пространством, так как в общем случае невозможно суммировать два замкнутых неограниченных оператора. Расстояние между закрытыми операторами$T$и$S$определяется, грубо говоря, как разрыв между графиками$G(T)$и$G(S)$. График оператора представляет собой замкнутое линейное многообразие в$H\times H$определяется

$$G(T)=\{(\varphi,\psi) \in H\times H \;, \; \varphi\in D(T)\; , \; \psi=T\varphi \}\; .$$ Подробности определения см., например, в книге Като 1966 г. по теории возмущений линейных операторов.

В$\mathcal{C}(H)$, мы имеем, таким образом, понятие сходимости$T_n\to T$. Сходимость в этом смысле (названном Като «обобщенным смыслом») расширяет, грубо говоря, сходимость по норме ограниченных операторов. Если резольвента установлена$\varrho(T)$из$T$непусто, то обобщенная сходимость эквивалентна сходимости по норме в смысле резольвенты , т. е. эквивалентна сходимости по норме резольвент (как ограниченных операторов):

$$T_n\to_\mathrm{gen} T \Leftrightarrow (T_n-z)^{-1}\to_{\mathrm{norm}} (T-z)^{-1}\; ,\; \forall z\in \varrho(T)\; .$$ Точнее, существует $n^*\in \mathbb{N}$такой, что $z\in \varrho(T_n)$для любого $n\geq n^*$, и имеет место сходимость резольвент. Конечно, сходимость в обобщенном смысле эквивалентна сходимости по норме, если операторы ограничены.

Тем не менее остается проблема с определением производной, так как, как я заметил ранее, в общем случае невозможно суммировать два замкнутых оператора и получить другой замкнутый оператор. Можно задать абстрактные условия на (плотно определенные)$T$и$S$для них плотно определить замкнутый оператор$T+S$, см. эту статью . Однако, как вы можете заметить, вещи становятся все более и более беспорядочными. В любом случае, пусть$T_0\in \mathcal{C}(H)$— фиксированный плотно определенный замкнутый оператор. Мы обозначаем через$\mathcal{C}_{T_0}(H)$набор

$$\mathcal{C}_{T_0}(H)=\{T\in \mathcal{C}(H), T-T_0\in \mathcal{C}(H)\}\; .$$ Заметьте, что $\mathcal{C}_{T_0}(H)$может быть и пустым. Тем не менее, пусть теперь $\alpha:\mathbb{R}\to \mathcal{C}_{T_0}(H)$для некоторых $T_0$, и $\alpha(x)=T_0$. Тогда производная $\alpha'(x)$можно определить обычным образом, так как $h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)$является закрытым оператором: $$\alpha'(x)=\lim_{h\to 0}h^{-1}\Bigl(\alpha(x+h)-\alpha(x)\Bigr)\; ;$$ где предел понимается в обобщенном смысле (при условии, что он существует). Однако мы все еще не уверены, что производная имеет смысл в другой точке $x'\neq x$, если $\alpha(x')\neq T_0$!

На самом деле я никогда не видел применения этой конструкции в какой-либо конкретной физической или математической задаче, а может быть, и никогда не использовал.

Наконец, очень часто используются производные функций со значениями в непрерывных (ограниченных) линейных операторах. В этом случае производная может подразумеваться в любой топологии ограниченных операторов, такой как, например, топология нормы (это было бы эквивалентно приведенной выше конструкции и уже отмеченному OP); но и в сильной топологии, или в слабой . На самом деле производные иногда могут существовать в сильном или слабом смысле, но не в смысле нормы.