Прямой провод с постоянным электрическим током и квадратной петлей в гравитационном поле

Question

Прямой провод с постоянным электрическим током и квадратной петлей в гравитационном поле

опистофулакс

Я пытался решить это упражнение, но нашел некоторые трудности в предложенном решении... Текст:

Квадратная петля из проволоки (сторона $l$ , масса $m$ , сопротивление $R$ ) лежит на $xz$ плоскости, под очень длинным идеальным прямым проводом, по которому течет ток $i_0$ , На расстоянии $d$ . Поскольку мы находимся на $xz$ самолет, это сила тяжести, с ускорением $g$ . В то время $t_0$ петля сброшена.
Напишите уравнение движения петли.

РЕШЕНИЕ: поток через петлю равен

Φ (\vec{Б_{я_{0}}}) "=" \int_{С} \vec{Б_{я_{0}}} \cdot \hat{н} г С "=" \int_{г}^{г + л} \frac{л {мю}_{0} я_{0}}{2 π р} г р "=" \frac{л {мю}_{0} я_{0}}{2 π} п \frac{г + л}{г}

$\Phi(\vec{B_{I_0}}) = \int_S\vec{B_{I_0}}\cdot\hat{n}\ \mathrm{d}S = \int_d^{d+l}\frac{l\mu_0I_0}{2\pi r}\ \mathrm{d}r = \frac{l\mu_0I_0}{2\pi}\ln{\frac{d+l}{d}}$

Теперь по закону Фарадея я могу рассчитать $emf$ индуцируется в квадратной петле, чтобы вычислить силу Лоренца, чтобы ввести второй закон Ньютона

\vec{Ф} "=" м \vec{а}

$\vec{F} = m\vec{a}$

в $emf_i$ , по закону Фарадея (где называется $d \equiv d(t) \equiv y(t)$ )

е м ф_{я} "=" - \frac{г Φ (\vec{Б_{я_{0}}})}{г т} "=" + \frac{л^{2} {мю}_{0} я_{0}}{2 π} \frac{1}{у (т) (л + у (т))} \cdot \frac{г у (т)}{г т}

$emf_i = -\frac{\mathrm{d}\Phi(\vec{B_{I_0}})}{\mathrm{d}t} = + \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

следовательно, индукционный ток равен:

я_{л о о п} "=" \frac{е м ф_{я}}{р} "=" \frac{л^{2} {мю}_{0} я_{0}}{2 π р} \frac{1}{у (т) (л + у (т))} \cdot \frac{г у (т)}{г т}

$I_{loop} = \frac{emf_i}{R} = \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi R}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

и циркулирует по часовой стрелке (если я не ошибаюсь...).

Итак, теперь возникает настоящая проблема. Поскольку я не знал, как вычислить закон Лоренца, я посмотрел на предложенное решение проблемы, которое

Сила Лоренца на двух вертикальных сторонах равна и противоположна, поэтому она уравновешивается.

С тех пор никаких проблем...

На горизонтальных сторонах это дается

$Ф "=" \frac{л^{2} {мю}_{0} я_{0} я_{л о о п}}{2 π} \frac{1}{у (т) (л + у (т))} \hat{у}$ $F = \frac{l^2\mu_0I_0I_{loop}}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\hat{y}$

Теперь, как это возможно, если магнитное поле входит нормально к петле? Разве он не должен иметь противоположный знак? И, более того, как он рассчитал эту Силу? Я имею в виду, что сила Лоренца выглядит как

Ф "=" д \vec{в} \times \vec{Б}

$F = q\vec{v}\times\vec{B}$

но я не вижу ни магнитного поля, ни скорости в этой формуле...

Надеюсь, что кто-то знает ответ! Спасибо!

Ответы (1)

Прямой провод с постоянным электрическим током и квадратной петлей в гравитационном поле

каверак · Answer 1

$\newcommand{\vect}[1]{{\bf #1}}$ $\newcommand{\dd}{{\rm d}}$ $\newcommand{\uvect}[1]{\hat{\vect{#1}}}$ Сила тока $I$ можно рассчитать как

\begin{matrix} (1) & г Ф "=" я г л \times Б \end{matrix}

$\dd\vect{F} = I\dd \vect{l}\times \vect{B} \tag{1}$

где $\dd\vect{l}$ идет по течению $I$ . На самом деле это та же самая сила Лоренца, но написанная немного иначе, чем уравнение, которое вы привели выше. Грубо говоря если взять небольшой заряд $\Delta q$ движется по проводу так, что его скорость $\Delta \vect{l}/\Delta t$ , сила Лоренца, действующая на этот заряд, равна

\begin{matrix} (2) & Δ Ф "=" Δ д \frac{Δ л}{Δ т} \times Б "=" (\frac{Δ д}{Δ т}) Δ л \times Б "=" я Δ л \times Б \end{matrix}

$\Delta \vect{F} = \Delta q \frac{\Delta \vect{l}}{\Delta t}\times \vect{B} = \left( \frac{\Delta q}{\Delta t}\right)\Delta \vect{l}\times \vect{B} = I \Delta \vect{l}\times\vect{B} \tag{2}$

что уравнение (1). Теперь, как вы указываете, вертикальные сегменты петли не вносят вклад в силу, только горизонтальные, и для этого случая уравнение. (1) становится

\begin{array}{rcl} Ф & "=" & \int г Ф "=" я_{л о о п} \int г л \times Б \\ "=" & я_{л о о п} (\int_{ты п} г л \times Б + \int_{г о ж н} г л \times Б) \\ "=" & я_{л о о п} л (\frac{{мю}_{0} я_{0}}{2 π} \frac{\hat{у}}{у} - \frac{{мю}_{0} я_{0}}{2 π} \frac{\hat{у}}{у + л}) \\ "=" & \frac{{мю}_{0} я_{л о о п} я_{0} л^{2}}{2 π} \frac{\hat{у}}{у (у + л)} \end{array}

$\begin{eqnarray} \vect{F} &=& \int\dd\vect{F} = I_{\rm loop}\int\dd\vect{l}\times\vect{B} \\ &=& I_{\rm loop} \left(\int_{\rm up}\dd\vect{l}\times \vect{B} + \int_{\rm down}\dd\vect{l}\times \vect{B} \right) \\ &=& I_{\rm loop}l \left(\frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y} - \frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y + l} \right) \\ &=& \frac{\mu_0 I_{\rm loop}I_0l^2}{2\pi} \frac{\uvect{y}}{y(y + l)} \end{eqnarray}$

Прямой провод с постоянным электрическим током и квадратной петлей в гравитационном поле

опистофулакс

Ответы (1)

каверак

Магнитное поле внутри проводника и линейность вихревых токов

Как найти направление вихревого тока?

Закон Фарадея и «бесконечная индукция»

Неконсервативные электрические поля из-за изменения магнитного потока?

Закон Фарадея - рекурсивный?

Ток, индуцируемый в петле, движущейся вне магнитного поля: противоречие с правилом правой руки Флеминга

Наведенное магнитное поле всегда производит электрическое поле и наоборот!

Изменение полярности магнита для увеличения/уменьшения вихревых токов?

Как классически связаны сила Лоренца, третий закон Максвелла и закон индукции Фарадея?

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?