Пуля, попавшая в дверь, и пуля, попавшая в подвесной блок

В случае баллистического маятника предполагается, что вся масса блока сосредоточена в точке попадания пули. В случае двери масса распределяется по всей двери, и, поскольку дверь предполагается жесткой (и зажатой в петлях), разные части двери должны иметь разные тангенциальные скорости.

Разница в том, что дверь может передавать усилие от петель в горизонтальном направлении, тогда как вертикальная струна не может оказывать горизонтальное усилие.
Единственная сила, доступная струне, — это ее натяжение, и она действует вдоль струны. Струна может оказывать горизонтальную составляющую силы только тогда, когда она не вертикальна.

Предположим, дверные петли были таковы, что во время удара они не ограничивали движение двери в горизонтальном направлении, а сразу после этого ограничивали, т. е. в петлях был небольшой провис.
Таким образом, во время столкновения вы можете использовать закон сохранения импульса, но сразу после этого на дверь будет воздействовать импульс из-за петель, что будет означать, что линейный импульс двери снова изменится.

Использование сохранения углового момента вокруг шарниров означает, что крутящие моменты, прикладываемые шарнирами, равны нулю.

Предположим, что в дверной петле есть некоторый люфт, так что в течение первого небольшого промежутка времени после попадания пули в дверь вся дверь может двигаться в том же направлении, что и пуля, не вращаясь.

Однако теперь дверь начинает вращаться , а не двигаться линейно. Почему это может быть? Это возможно только потому, что петля отодвигается со своей стороны двери, чтобы край двери оставался на месте.

Эта сила, действующая на дверь, поглощает часть линейного импульса, полученного от пули, поэтому анализ ситуации с точки зрения линейного импульса будет сложным.

К счастью, поскольку система дверь+пуля взаимодействует с окружающей средой только через петлю (а мы предполагаем, что петля хорошо смазана и не передает никакого крутящего момента), ее угловой момент вокруг петли сохраняется. Это позволяет нам относительно легко анализировать ситуацию, используя угловой момент.

В случае с маятником (где мы рассматриваем маятник как точку) должен работать либо линейный импульс (в направлении движения пули), либо угловой момент , и оба должны давать один и тот же результат. В этом случае несколько проще использовать линейный импульс, поэтому обычно приводится именно такой расчет.

Сохранение механической энергии недопустимо ни в одной из ситуаций, потому что часть энергии теряется в виде тепла и напряжения, когда пуля входит в цель, деформируя ее.

2 системы эквивалентны. В одном случае у вас есть простой маятник , в другом — сложный маятник . Тот факт, что струна маятника гибкая, в расчет не входит. Его можно заменить легким жестким стержнем, не влияя на результат. Единственная разница тогда заключается в распределении массы вокруг точки вращения, что, я думаю, является единственной причиной, почему закон сохранения линейного количества движения работает для простого маятника, но не для двери.

В обоих случаях вы должны использовать закон сохранения углового момента относительно точки поворота, а не закон сохранения линейного количества движения. Если предположить, что сила, действующая на струну или дверь от точки опоры, действует на опору ( центральная сила ), то угловой момент системы не изменяется во время мгновенного столкновения.

В обоих случаях начальный угловой момент равен$mvL$куда$L$это расстояние пули от точки вращения. Конечный угловой момент равен$J\omega_0$куда$J$момент инерции относительно оси вращения и$\omega_0$- угловая скорость сразу после внедрения пули, что, как предполагается, происходит мгновенно.

Для простого маятника, у которого масса$M$маятник сосредоточен на расстоянии$L$от оси у вас есть
$mvL=J\omega_0=(ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$...(*)
где$m,M$- массы пули и блока и$v,V$- линейные скорости пули непосредственно перед и пули с блоком сразу после столкновения. Я также использовал тот факт, что$V=\omega_0 L$. В этом случае сохранение момента количества движения равносильно сохранению количества движения.

Для составного маятника, у которого масса распределена как стержень до длины$2L$от оси у вас есть
$mvL=J\omega_0=(\frac13M(2L)^2+mL^2)\omega_0=(\frac43ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(\frac43M+m)V$
что не совпадает с результатом, полученным с использованием закона сохранения импульса в уравнении (*) выше.

[Однако закон сохранения импульса можно применить, если пуля попадает в дверь в центре удара . (Спасибо Эндрю Мортону за указание на это в своем комментарии ниже.) Дверь качается на шарнире с тем же периодом, что и простой маятник той же массы, сосредоточенной в ЦД. Момент инерции двери можно записать как$J=Mk^2$куда$k$это расстояние между шарниром и CoP. Таким образом, если пуля попадает в дверь в точке CoP, то закон сохранения углового момента дает тот же результат, что и закон сохранения линейного количества движения:
$mvk=(Mk^2+mk^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$
где сейчас$V=\omega_0 k$скорость ЦД сразу после столкновения.]

И простой, и сложный маятники вращаются вокруг неподвижной оси. Это движение можно разложить на мгновенное прямолинейное движение ЦМ и вращение вокруг ЦМ. Для простого маятника ось вращения находится далеко за пределами груза, поэтому вращение груза вокруг своего ЦМ незначительно по сравнению с движением ЦМ. В хорошем приближении удар приводит только к линейному движению КМ, поэтому он хорошо моделируется как одномерное линейное столкновение. Для составного маятника точка поворота находится недалеко от ЦМ по сравнению с размером двери, поэтому вращательное движение вокруг ЦМ значительно по сравнению с движением ЦМ. Удар приводит к вращательному, а также к линейному движению, поэтому его нельзя аппроксимировать как одномерное линейное столкновение.