Домашнее задание: вычисление радиуса и массы планеты по скорости и времени

Question

Домашнее задание: вычисление радиуса и массы планеты по скорости и времени

кузнец идей

Рассмотрим планету и солнце, вращающиеся вокруг своего центра масс . Солнце имеет массу 0,9 массы нашего Солнца.

Я должен вычислить массу планеты через массу Юпитера и радиус орбиты планеты через радиус Земли — я не понимаю, что означает этот радиус. Разве орбиты не эллиптические или орбиты вокруг центра масс на самом деле круговые?

Я знаю, что период обращения Солнца в задаче равен 1500 дням, а его максимальная лучевая скорость равна $70m/s$ и минимум $-70m/s$

Я пробовал кучу подходов, но ничего не могу заставить работать.

Во-первых, масса и скорость планеты равны $m_p, v_p$ и звезды $m_s, v_s$ . Тогда с сохранением углового момента

л_{с_{я}} + л_{с я} "=" л_{п ф} + л_{с ф}

$L_{s_i}+L_{si} = L_{pf} + L_{sf}$ Также верно, что полная масса системы

M = m_{p} + m_{s}

$M = m_p + m_s$ . Кроме того, мы можем описать период обращения уравнением

$T^2GM = 4\pi^2r^3$ где $r$ это радиус орбиты.

Теперь о первом уравнении: мы на самом деле не знаем, какова конечная скорость звезды, пока не введем кинетическую и потенциальную энергию.

Затем записываем (очень длинное) уравнение для энергии

$\frac{1}{2}m_pv_{pi}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{si}^2 + U_{pi} + U_{si} = \frac{1}{2}m_pv_{pf}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{sf}^2 + U_{pf} + U_{sf}$

Мы хотим найти массу и радиус вращения планеты. У нас есть четыре неизвестных $v_{pi,f}$ , $r_p, r_s$ и иметь три уравнения. Что мне делать? Редактировать

Четвертое уравнение можно записать в виде $a_{red} = \frac{v^2}{r}$ где r - приведенный радиус, а ускорение - ускорение приведенной массы.

Флорис

Хочу проверить пару моментов. Во-первых, вы предполагаете круговую орбиту (иначе «радиус» орбиты не имеет смысла). Также, когда вы говорите «Солнце имеет массу 0,9 массы Солнца», вы имеете в виду «солнце в этой задаче… солнце в Солнечной системе Земли», верно? Наконец, для этого: «Я знаю, что период обращения Солнца составляет 1500 дней» — вы имеете в виду «орбиту этой планеты и этого Солнца»?

Флорис

Если вы можете игнорировать тот факт, что вы вращаетесь вокруг барицентра, вы можете игнорировать массу. Но когда ваша планета имеет большую массу, это влияет на положение видимого центра вращения (по сравнению с расстоянием до Солнца). Может быть, это то, что дает вам недостающее уравнение?

Флорис

Наконец - что вы называете "скоростью прямой видимости"? В том, что

ω r^{'}

$\omega r'$ где

r^{'}

$r'$ это уменьшенный радиус (к барицентру)?

кузнец идей

Да, скорость прямой видимости - это уменьшенный радиус

r^{'}

$r'$ . Что касается вашего второго комментария, не могли бы мы написать уравнение

x_{c o m} = \frac{d_{p} m_{p} + d_{s} m_{s}}{M}

$x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ где

d_{p}

$d_p$ и

d_{s}

$d_s$ расстояния до центра планеты и солнца?

Флорис

Посмотрите, поможет ли эта статья о сниженной массе ...

кузнец идей

@ Флорис, не могли бы вы попытаться полностью ответить на мой вопрос. Я не могу понять это самостоятельно

Флорис

Может быть, сегодня вечером...

Ответы (1)

Домашнее задание: вычисление радиуса и массы планеты по скорости и времени

Хочу проверить пару моментов. Во-первых, вы предполагаете круговую орбиту (иначе «радиус» орбиты не имеет смысла). Также, когда вы говорите «Солнце имеет массу 0,9 массы Солнца», вы имеете в виду «солнце в этой задаче… солнце в Солнечной системе Земли», верно? Наконец, для этого: «Я знаю, что период обращения Солнца составляет 1500 дней» — вы имеете в виду «орбиту этой планеты и этого Солнца»?
Если вы можете игнорировать тот факт, что вы вращаетесь вокруг барицентра, вы можете игнорировать массу. Но когда ваша планета имеет большую массу, это влияет на положение видимого центра вращения (по сравнению с расстоянием до Солнца). Может быть, это то, что дает вам недостающее уравнение?
Наконец - что вы называете "скоростью прямой видимости"? В том, что $\omega r'$ где $r'$ это уменьшенный радиус (к барицентру)?
Да, скорость прямой видимости - это уменьшенный радиус $r'$ . Что касается вашего второго комментария, не могли бы мы написать уравнение $x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ где $d_p$ и $d_s$ расстояния до центра планеты и солнца?
Посмотрите, поможет ли эта статья о сниженной массе ...
@ Флорис, не могли бы вы попытаться полностью ответить на мой вопрос. Я не могу понять это самостоятельно

Флорис · Answer 1

Я не понимаю, что означает этот радиус. Разве орбиты не эллиптические или орбиты вокруг центра масс на самом деле круговые?

Я думаю, что вам придется принять круговую орбиту - иначе «радиус» не имеет смысла, как вы правильно указываете.

Что касается основной части вашего вопроса - я думаю, вы делаете это сложнее, чем нужно.

Вас просят вычислить радиус с точки зрения радиуса Земли. Теперь мы знаем из законов Кеплера, что

Т^{2} г М "=" 4 π^{2} р^{3}

$T^2 GM = 4 \pi^2 r^3$

Согласно этой статье о гравитационных задачах двух тел , для случая, когда масса планеты не пренебрежимо мала по сравнению с массой «солнца», мы просто заменяем $M$ с $M+m$ ; теперь мы можем записать первое уравнение для массы и радиуса орбиты планеты:

\begin{matrix} (1) & \frac{Т_{е}^{2} г М_{с}}{р_{е}^{3}} "=" \frac{Т_{п}^{2} г (0,9 М_{с} + м_{п})}{р_{п}^{3}} \end{matrix}

$\frac{T_e^2 G M_s}{r_e^3} = \frac{T_p^2~ G ~(0.9~ M_s + m_p)}{r_p^3}\tag1$

В этом уравнении всего два неизвестных: $r_p$ и $m_p$ .

Далее, поскольку у вас есть скорость линии визирования и период, расстояние $r_p$ планеты к центру вращения сразу следует:

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} в & "=" ю р_{п} "=" \frac{2 π р_{п}}{Т} \\ \Rightarrow р_{п} & "=" \frac{в Т}{2 π} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}v &= \omega r_p = \frac{2\pi r_p}{T}\\ \Rightarrow r_p &= \frac{vT}{2\pi}\end{align}\tag2$

Теперь, когда у вас есть $r_p$ вы можете заменить в (1), и это должно дать вам ответ.

Преобразование их в радиус Земли и массу Юпитера должно быть простым. Возможно, стоит подсчитать, насколько другим был бы ответ, если бы вы предположили, что планета «легкая» — тогда простой случай закона Кеплера сказал бы нам

\frac{р_{п}}{р_{е}} "=" {(\frac{1500}{365,25})}^{\frac{2}{3}} \approx 2,56

$\frac{r_p}{r_e}=\left(\frac{1500}{365.25}\right)^{\frac23}\approx 2.56$

Это не ответ на ваш вопрос, но насколько он далек от ответа, полученного вами выше? Прежде чем приступить к вычислениям, спросите себя: вы ожидаете, что число будет больше или меньше?

Домашнее задание: вычисление радиуса и массы планеты по скорости и времени

кузнец идей

Флорис

Флорис

Флорис

кузнец идей

Флорис

кузнец идей

Флорис

Ответы (1)

Флорис

Законы Кеплера: докажите, что планета всегда остается в одной плоскости？

Пуля, попавшая в дверь, и пуля, попавшая в подвесной блок

Почему это уравнение орбитального движения не меняется в зависимости от положения на орбите?

Скорость спутника на эллиптической орбите

Орбитальные уравнения движения относительно энергии

Как может уменьшиться скорость спутника без изменения его орбитального углового момента?

Уточнение относительно главных осей при движении твердого тела

Откуда берется угловой момент Солнечной системы? [дубликат]

Неясное определение несохранения энергии

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны