Что такое уравнение непрерывности в QM?

Другие ответы верны, но стоит указать, учитывая вопрос вашего заголовка, что на самом деле говорит нам уравнение непрерывности.

Уравнение непрерывности - это выражение баланса между скоростью изменения количества «вещества» внутри области$M$с одной стороны и суммарный поток этого материала через границу$\partial M$с другой. Это перевод в математику утверждения «то, что входит, остается внутри, пока не выйдет снова через границу». Например, как жидкость: количество жидкости в объеме может измениться только на общий поток жидкости через границу этого объема. Уменьшая объем теста и принимая предел, можно показать, что это понятие совпадает с уравнением в ответе Нейта Стемена, если взять$\rho$быть плотностью жидкости и$\vec{j}$быть массовым расходом.

В вашем случае «материал» - это общая вероятность на единицу объема того, что оператор позиции дает измерение в этом объеме. Вероятностный поток, возможно, немного более абстрактен, чем массовый расход, но выполнение уравнения непрерывности для всего пространства просто означает, что вероятность того, что измерение будет происходить где- то , постоянна. А именно: вероятность того, что измерение будет лежать где-то во всем пространстве, равна единице!! А уравнение неразрывности получается в результате применения этого принципа к произвольному объему, границе объема и дополнению к объему. Уменьшение вероятности измерения внутри объема должно соответствовать увеличению вероятности измерения вне, которое, в свою очередь, должно соответствовать интегральному потоку через границу.

Теперь немного поразмыслите над этими мыслями и, держа их в уме, посмотрите, сможете ли вы воспроизвести из своих собственных рассуждений ответ AlphaGo .

Поэтому уравнение неразрывности обычно записывают как

куда$\rho \equiv \rho(\mathbf{r},t) = |\psi|^2$- стандартная плотность вероятности и$\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\bar{\psi}\nabla\psi - \psi\nabla\bar{\psi}\right)$называется током вероятности. Просто хотел написать это, чтобы вы могли лучше понять, что вы читаете, если вы смотрите в Интернете.

Теперь в вашей проблеме они определили$\xi \equiv |\psi|^2 + \frac{\partial}{\partial x}(\bar{\psi}\psi)$что очень близко к$\rho + \mathbf{j}$но не совсем то же самое. То, что они хотят, чтобы вы сделали, это показать$\partial_t\xi + \partial_x\xi = 0$