Почему условие сокращения длины формулируется таким образом при выводе преобразований Лоренца?

Question

Почему условие сокращения длины формулируется таким образом при выводе преобразований Лоренца?

Мёнджин Хён

Я изучал, как получаются преобразования Лоренца, и нашел эту таблицу в « Специальной теории относительности для новичка-энтузиаста» Дэвида Морина. Загрунтованная рама $S'$ считается, что он имеет скорость только вдоль положительного направления x незаштрихованного $S$ рамка.

Я обосновал четыре условия для себя следующим образом:

Замедление времени может быть указано как $\Delta t_{other frame} = \gamma \Delta t_{proper}$ . Собственное время измеряется на стационарных часах в рассматриваемой системе отсчета, поэтому условие $\Delta x' = 0$ и результат $\Delta t = \gamma \Delta t'$ имело смысл. Это было потому, что $\Delta x' = 0$ подразумевал, что часы были неподвижны в рассматриваемой системе отсчета, и $\Delta t'$ было подходящее время.

Утверждения 3 и 4 также можно согласовать с качественным пониманием эффекта опережения задних часов и относительной скорости (хотя я немного неуклюж, выражая это здесь словами. При необходимости я уточню). Условия сокращения длины однако результаты были сбивающими с толку.

Как я это понимаю:

Для измерения длины в конкретном кадре измерения должны быть одновременными в этом конкретном кадре .

Итак, с условием $\Delta t' = 0$ , подразумевается, что измерение длины производилось в заштрихованной рамке . Основная идея сокращения длины $\Delta l_{other frame} = {\Delta l_{proper}}/{\gamma}$ . Таким образом, при измерении в заштрихованной рамке надлежащей длиной будет длина, измеренная в загрунтованной рамке , т.е. $\Delta x'$ . Поскольку наблюдение длины в любой другой системе отсчета будет сокращено, я пришел к

Δ Икс "=" Δ {Икс}^{'} / γ

$\Delta x = \Delta x' / \gamma$

Это противоречит тому, что написано в таблице:

Δ {Икс}^{'} "=" Δ Икс / γ

$\Delta x' = \Delta x / \gamma$

Поэтому мне было интересно, в чем была ошибка в моей логике. Я был бы очень признателен, если бы кто-нибудь разобрался с моим аргументом и объяснил его ошибку.

Батиат

Обратите внимание, что «правильная длина» означает «длину покоя», то есть длину объекта, измеренную в системе отсчета, в которой он находится в состоянии покоя (скажем, S). Длина покоя всегда является наибольшей длиной объекта, в то время как во всех других кадрах (скажем, S") объект находится в движении, и одновременные измерения конечных точек этого движущегося объекта дают длины, которые короче по сравнению с длиной покоя, таким образом название «сокращение длины».

Мёнджин Хён

@Batiatus Я понимаю, что такое сокращение длины. Меня смутила логика условий, указанных в таблице: конкретно, почему

Δ x^{'} = Δ x / γ

$\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (а не наоборот), когда измерение производится для

Δ t^{'} = 0

$\Delta t'=0$

Филип

Мои ответы на вопрос Что не так в этом ложном выводе длины «расширение»? и Почему это предположение сделано при выводе замедления времени? может быть полезно.

Ответы (3)

Почему условие сокращения длины формулируется таким образом при выводе преобразований Лоренца?

Обратите внимание, что «правильная длина» означает «длину покоя», то есть длину объекта, измеренную в системе отсчета, в которой он находится в состоянии покоя (скажем, S). Длина покоя всегда является наибольшей длиной объекта, в то время как во всех других кадрах (скажем, S") объект находится в движении, и одновременные измерения конечных точек этого движущегося объекта дают длины, которые короче по сравнению с длиной покоя, таким образом название «сокращение длины».
@Batiatus Я понимаю, что такое сокращение длины. Меня смутила логика условий, указанных в таблице: конкретно, почему $\Delta x' = \Delta x/\gamma$ (а не наоборот), когда измерение производится для $\Delta t'=0$
Мои ответы на вопрос Что не так в этом ложном выводе длины «расширение»? и Почему это предположение сделано при выводе замедления времени? может быть полезно.

Марко Окрам · Answer 1

Ваши интерпретации условий 1,3 и 4 точны. Однако в конкретных терминах условие 2 означает, что формула сокращения длины для линейки в S', если смотреть из S, верна только в том случае, если линейка стационарна в S' (т. е. положения обоих ее концов зафиксированы в одно и то же время t ').

ограбить · Answer 2

Я думаю, что путаница с элементом сокращения длины в таблице (в разделе 2.1.1) заключается в тонком переключении ситуации между его «введением сокращения длины в разделе 1.3.3» и его «выводом преобразования Лоренца в разделе 2.1». .1". (Я думаю, что пространственно-временные диаграммы и дополнительные обозначения помогли бы различить ситуации. Символических уравнений иногда бывает недостаточно.)

Когда Морин вводит сокращение длины в разделе 1.3.3,
человек-B (ЗЕМЛЯ) измеряет кажущуюся длину поезда-A (ДВИЖУЩЕГОСЯ ПОЕЗДА), который имеет длину покоя. $L_A$ . Его анализ определяет, что человек-Б измеряет

л_{Б} "=" \frac{л_{А}}{γ} . (1.19)

$L_{B}=\frac{L_{A}}{\gamma}.\qquad(1.19)$ За счет дополнительных обозначений это может быть лучше выражено (используя «wrt» = «относительно») как

л_{А, ж р т Б} "=" \frac{л_{А, ж р т А}}{γ} .

$L_{A,wrtB}=\frac{L_{A,wrtA}}{\gamma}.$ Затем Морин резюмирует результат как

л_{о б с е р в е г} "=" \frac{л_{п р о п е р}}{γ} . (1,20)

$L_{observed}=\frac{L_{proper}}{\gamma}.\qquad(1.20)$

На пространственно-временной диаграмме, нарисованной человеком-Б (ЗЕМЛЯ),
мы рисуем синие параллельные временные линии (мировые линии) передней и задней части поезда-А. Примечание

OQ (правильная длина поезда-A) и
ОМ (мерная длина поезда-А человека-Б).

Обратите внимание, что MQ (вдоль временной шкалы передней части поезда A) ортогонален OQ (вдоль пространственной линии). $t'=0$ ). Итак, это прямоугольный треугольник Минковского. $OQM$ с прямым углом в $Q$ , где $\theta$ равно быстроте ( $v_{B,wrt A}=\tanh\theta$ и $\gamma=\cosh\theta$ ).
В этом треугольнике $OM$ - гипотенуза (так как она противоположна прямому углу) и $OQ$ является смежной стороной.

Так, $\displaystyle\gamma=\cosh\theta=\frac{ADJ}{HYP}=\frac{OQ}{OM}=\frac{L_{A,wrtA}}{L_{B,wrtA}}$ который можно записать как

\begin{aligned} (ЧАС Д п) & "=" \frac{(А Д Дж)}{чушь θ} \\ О М & "=" \frac{О Вопрос}{чушь θ} "=" \frac{О Вопрос}{γ} (1.19, 1,20) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma}\qquad(1.19, 1.20) \end{align}$

Теперь, при выводе преобразования Лоренца в 2.1.1,

Рассмотрим систему отсчета $S'$ перемещение относительно другого кадра $S$ , как показано на рис. 2.1. Пусть постоянная относительная скорость кадров равна $v$
....
Наша цель — рассмотреть два события и связать $\Delta x$ и $\Delta t$ в $S$ к $\Delta x'$ и $\Delta t'$ в $S'$ .

В этом разделе Морин устанавливает форму преобразования Лоренца с $\Delta x =A \Delta x' +B\Delta t'$ .
Морин хочет использовать «сокращение длины», чтобы получить коэффициент- $A=\gamma$ установив $\Delta x= \gamma \Delta x'$ .

Выберите из таблицы два события с $\Delta t'=0$ (поэтому нам не нужно беспокоиться о пока неизвестном коэффициенте- $B$ ): события $O$ и $Q$ , которые являются одновременными согласно человеку-A (ДВИЖУЩИЙСЯ ПОЕЗД)

Δ т_{О Вопрос}^{'} "=" (т_{Вопрос}^{'} - т_{О}^{'}) "=" 0.

$\Delta t'_{OQ}=(t'_Q-t'_O)=0.$

Теперь, вот важная часть.

Для этого вывода Морен хочет (согласно своей цели)

Δ {Икс}_{О Вопрос} "=" ({Икс}_{Вопрос} - {Икс}_{О}) с точки зрения Δ {Икс}_{О Вопрос}^{'} "=" ({Икс}_{Вопрос}^{'} - {Икс}_{О}^{'})

$\Delta x_{OQ}=(x_Q-x_O)\qquad\mbox{ in terms of $\Delta x'_{OQ}=(x'_Q-x'_O)$ }$ но это не касается напрямую $\Delta x_{OM}=(x_M-x_O)$ с 1.3.3!
Вместо этого в нем задействована другая пара (

O

$O$ и

N

$N$ ) одновременных событий по лицу-Б (ЗЕМЛЯ), где

Δ {Икс}_{О Вопрос} "=" Δ {Икс}_{О Н} .

$\Delta x_{OQ}=\Delta x_{ON}.$ То есть использовать событие

N

$N$ так что

x_{Q} = x_{N}

$x_Q = x_N$ .
(Что особенного в мероприятии

M

$M$ в том, что

x_{Q}^{'} = x_{M}^{'}

$x’_Q=x’_M$ , что не помогает нам с

x_{Q}

$x_Q$ нравиться

N

$N$ делает.)

На пространственно-временной диаграмме, нарисованной человеком-Б (ЗЕМЛЯ),
рассмотрим поезд разного размера в состоянии покоя согласно человеку-Б (ЗЕМЛЯ, С ПОЕЗДОМ ДЛЯ ОТДЫХА), который человек-А (ДВИЖУЩИЙСЯ ПОЕЗД) измеряет, используя события $O$ и $Q$ .
Нарисуйте красные параллели временной шкале Б через событие-О и через событие-Q.
Примечание:

ON (собственная длина этого поезда разного размера-B),
где $N$ это событие на передней панели, параллельное тому, что человек-Б говорит одновременно с $O$ .
OQ (измеренная человеком-А длина поезда-Б разного размера).

Обратите внимание, что $ONQ$ прямоугольный треугольник Минковского с прямым углом $N$ (так $OQ$ это гипотенуза) и то же $\theta$ как прежде. Таким образом (следуя идеям выше),

\begin{aligned} (ЧАС Д п) & "=" \frac{(А Д Дж)}{чушь θ} \\ О Вопрос & "=" \frac{О Н}{чушь θ} "=" \frac{О Н}{γ} \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma} \end{align}$

Сравните роль $OQ$ здесь и в (1.19) выше.

Выразив эти результаты в $\Delta x$ -нотации (нужны для 2.1.1)

с 1.3.3,

\begin{aligned} (ЧАС Д п) & "=" \frac{(А Д Дж)}{чушь θ} \\ О М & "=" \frac{О Вопрос}{чушь θ} "=" \frac{О Вопрос}{γ} (1.19, 1,20) \\ Δ {Икс}_{О М} & "=" \frac{Δ {Икс}_{О Вопрос}^{'}}{чушь θ} "=" \frac{Δ {Икс}_{О Вопрос}^{'}}{γ} (1.19, 1,20 где О Вопрос является правильной длиной поезда-A) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OM&=\frac{OQ}{\cosh\theta}=\frac{OQ}{\gamma} \qquad(1.19,1.20)\\ \Delta x_{OM}&=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x'_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.19,1.20 \mbox{ where $OQ$ is the proper-length of train-A}) \end{align}$

с 2.1.1,

\begin{aligned} (ЧАС Д п) & "=" \frac{(А Д Дж)}{чушь θ} \\ О Вопрос & "=" \frac{О Н}{чушь θ} "=" \frac{О Н}{γ} \\ Δ {Икс}_{О Вопрос}^{'} & "=" \frac{Δ {Икс}_{О Н}}{чушь θ} "=" \frac{Δ {Икс}_{О Н}}{γ} "=" \frac{Δ {Икс}_{О Вопрос}}{γ} (1,20 где О Вопрос - наблюдаемая длина поезда-B) \end{aligned}

$\begin{align} (HYP)&=\frac{(ADJ)}{\cosh\theta}\\ OQ&=\frac{ON}{\cosh\theta}=\frac{ON}{\gamma}\\ \Delta x'_{OQ}&=\frac{\Delta x_{ON}}{\cosh\theta}=\frac{\Delta x_{ON}}{\gamma}=\frac{\Delta x_{OQ}}{\gamma} \qquad(1.20 \mbox{ where $OQ$ is the observed-length of train-B}) \end{align}$ так что

Δ x_{O Q} = γ Δ x_{O Q}^{'}

$\Delta x_{OQ} = \gamma \Delta x'_{OQ}$ , из чего следует, что коэффициент-

A

$A$ равно

γ

$\gamma$ .

Опять же, я думаю, что пространственно-временные диаграммы и дополнительные обозначения помогут различать ситуации.

@Glowingbluejuicebox Ответит ли это на ваш щедрый вопрос?

Эшли Уолдрон · Answer 3

Эта часть книги тоже застала меня врасплох, но я думаю, что проблема, с которой вы столкнулись, заключается в вашем понимании того, какова правильная длина чего-либо. Надлежащая длина чего-либо — это не длина, измеренная в вашей системе отсчета (какой бы она ни была), это длина, которую что-то имеет при измерении в собственном теле .кадр отдыха. Это выделено сразу после уравнения 1.20 для сокращения длины на странице 59. Я также нашел Вопрос 24 в Приложении A действительно полезным для понимания связанной с этим асимметрии между выводами для замедления времени и сокращения длины. Это также аналогично формуле замедления времени 1.14 на странице 51, где вы увидите, что «собственное время» — это время, которое измеряется в системе отсчета, в которой часы находятся в состоянии покоя. Таким образом, собственное означает «измерение, которое берется в остальной части тела».

Итак, окончательное объяснение таково: загрунтованная рама — это та, которая производит измерения (как вы сказали), поскольку $\Delta t′=0$ , но надлежащая длина чего-либо определяется как «длина чего-либо, когда она измерена в своей собственной системе отсчета». Итак $\Delta x′$ человек измеряет вещь, но вещь покоится в другой системе отсчета. Поэтому измерение $\Delta x′$ будет равна правильной длине (длине, которую он имеет в своем кадре покоя, что составляет $\Delta x$ ) деленное на $\gamma$ .
На самом деле это просто стандартная формула сокращения длины, но с переключением кадров. Что-то вроде того, что вместо того, чтобы наблюдатель на земле измерял длину поезда, проносящегося мимо него, как сжатого. Это просто говорит о том, что поезд измеряет длину станции, проносящейся мимо него, как сокращенную.

Почему условие сокращения длины формулируется таким образом при выводе преобразований Лоренца?

Мёнджин Хён

Батиат

Мёнджин Хён

Филип

Ответы (3)

Марко Окрам

ограбить

ограбить

Эшли Уолдрон

Почему необходимо, чтобы разные наблюдатели согласились со значением пространственно-временного интервала ds2ds2ds^2?

Вывод преобразования Лоренца из принципа относительности

Вывод преобразований Лоренца

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Что такое событие в специальной теории относительности?

Является ли относительность одновременности просто условностью?

Можно ли вывести матрицу преобразования Лоренца с помощью формулы изменения базиса?

О зависимости времени перехода между системами отсчета в специальной теории относительности

Преобразование Лоренца, задача с выводом