Путаница с входными и выходными состояниями, взаимодействующим гильбертовым пространством и т. д., относящаяся к КТП Вайнберга.

Question

Путаница с входными и выходными состояниями, взаимодействующим гильбертовым пространством и т. д., относящаяся к КТП Вайнберга.

jkb1603

На этом сайте есть много сообщений, связанных с этой проблемой, но я не нашел ни одного, отвечающего на мои конкретные вопросы по этому вопросу.

Я пересматриваю свое понимание подхода Вайнберга. Вероятно, повсюду есть некоторые неправильные представления, и я очень благодарен, если кто-то сможет прояснить любое из них. Также задам еще несколько конкретных вопросов.

Итак, у нас есть полные гамильтоновы операторы $H$ и свободный гамильтониан $H_0$ а разница в некотором потенциале $V$

\begin{matrix} (3.1.8) & ЧАС "=" {ЧАС}_{0} + В . \end{matrix}

$H = H_0 + V.\tag{3.1.8}$ Также у нас есть соответствующие гильбертовы пространства

H

$\mathcal H$ и

H_{0}

$\mathcal H_0$ , где

H_{0}

$\mathcal H_0$ знакомое фоковское пространство, каким-то образом встроенное в

H

$\mathcal H$ , другими словами

H_{0}

$\mathcal H_0$ является субгильбертовым пространством

H

$\mathcal H$ . Фундаментальное предположение состоит в том, что спектры собственных значений

E_{α}

$E_{\alpha}$ из

H

$H$ и

H_{0}

$H_0$ совпадают. Хотя для меня это загадочно, я могу принять это.
Сейчас

H_{0}

$\mathcal H_0$ хорошо определен. Он натянут на собственные состояния с ортонормированной энергией

Φ_{α}

$\Phi_{\alpha}$ ,

\begin{matrix} (3.1.9) & {ЧАС}_{0} Φ_{α} "=" Е_{α} Φ_{α}, \end{matrix}

$H_0 \Phi_{\alpha} = E_{\alpha} \Phi_{\alpha},\tag{3.1.9}$ это любой

Φ \in H_{0}

$\Phi \in \mathcal H_0$ можно записать как

Φ "=" \int г α г (α) Φ_{α},

$\Phi = \int d\alpha~ g(\alpha) \Phi_{\alpha},$ где

g

$g$ волновая функция (в импульсном пространстве) (для объяснения

α

$\alpha$ обозначение я ссылаюсь на книгу). Я предполагаю, что мы не можем написать ни

Ψ \in H

$\Psi \in \mathcal H$ таким образом, иначе мы бы просто имели

H ≃ H_{0}

$\mathcal H \simeq \mathcal H_0$ , что, конечно, тривиально, верно?

Теперь рассмотрим собственные энергетические состояния $H$ . Так как его спектр такой же, как $H_0$ мы также можем пометить их $\alpha$ . Однако, по-видимому, существует еще одно фундаментальное предположение. А именно, что существует два набора собственных состояний $\Psi_{\alpha}^{\pm}$ , с

\begin{matrix} (3.1.11) & ЧАС Ψ_{α}^{\pm} "=" Е_{α} Ψ_{α}^{\pm}, \end{matrix}

$H\Psi_{\alpha}^{\pm} = E_{\alpha} \Psi_{\alpha}^{\pm}\tag{3.1.11},$ и такие, что они подчиняются следующему тождеству

\begin{matrix} (3.1.12) & \underset{т \to \mp \infty}{лим} \int г α е^{- я Е_{α} т} г (α) Ψ_{α}^{\pm} "=" \underset{т \to \mp \infty}{лим} \int г α е^{- я Е_{α} т} г (α) Φ_{α} \end{matrix}

$\lim_{t \rightarrow \mp \infty} \int d\alpha~ e^{-iE_{\alpha} t} g(\alpha) \Psi_{\alpha}^{\pm} = \lim_{t \rightarrow \mp \infty} \int d\alpha~ e^{-iE_{\alpha} t} g(\alpha) \Phi_{\alpha} \tag{3.1.12}$ для всех (гладких?) волновых функций

g (α)

$g(\alpha)$ . Вайнберг показывает, что

Ψ_{α}^{\pm}

$\Psi_{\alpha}^{\pm}$ также ортонормированы. Это как бы подразумевает, что

Ψ_{α}^{\pm}

$\Psi_{\alpha}^{\pm}$ каждый также охватывает

H_{0}

$\mathcal H_0$ или не менее двух экземпляров

H_{0}^{+} ≃ H_{0}^{-} ≃ H_{0}

$\mathcal H_0^+ \simeq \mathcal H_0^- \simeq \mathcal H_0$ которые каким-то образом встроены в

H

$\mathcal H$ .

Q1: сделать $\Psi_{\alpha}^+, \Psi_{\alpha}^-, \Phi_{\alpha}$ фактически охватывают одно и то же подпространство $\mathcal H_0 \subset \mathcal H$ ? Это кажется необходимым для того, чтобы расширить их относительно друг друга, что неоднократно делается на протяжении всей главы. Это можно показать? Это очевидно? Или это нужно предполагать?

Меня также смущает физическая интерпретация этих определений. Я принимаю точку зрения Гейзенберга. Скажем, квантовая система описывается состоянием $\Psi \in \mathcal H$ как видно из некоторой системы отсчета. Скажем, эрмитов оператор $\mathcal O(t)$ измеряет некоторые свойства, связанные с содержанием частиц в данном состоянии. Наблюдатель в далеком прошлом измерит следующее ожидаемое значение

⟨ О (- \infty) ⟩ "=" \underset{т \to - \infty}{лим} (е^{- я ЧАС т} Ψ, О (0) е^{- я ЧАС т} Ψ)

$\langle \mathcal O(-\infty) \rangle = \lim_{t \rightarrow - \infty} (e^{-iHt}\Psi, \mathcal O(0) e^{-iHt}\Psi)$ тогда как наблюдатель в далеком будущем измерит

⟨ О (+ \infty) ⟩ "=" \underset{т \to + \infty}{лим} (е^{- я ЧАС т} Ψ, О (0) е^{- я ЧАС т} Ψ) .

$\langle \mathcal O(+\infty) \rangle = \lim_{t \rightarrow + \infty} (e^{-iHt}\Psi, \mathcal O(0) e^{-iHt}\Psi).$ Тогда мне имеет смысл определить соответствующий in-state

Ψ^{-}

$\Psi^-$ и за пределами штата

Ψ^{+}

$\Psi^+$ как

Ψ^{\pm} \equiv \underset{т \to \mp \infty}{лим} е^{- я ЧАС т} Ψ .

$\Psi^{\pm} \equiv \lim_{t \rightarrow \mp \infty} e^{-i H t} \Psi.$ Q2: Также имеет смысл утверждать, что

Ψ^{\pm} \in H_{0}

$\Psi^{\pm} \in \mathcal H_0$ . Можно ли это показать из предыдущих предположений? Это очевидно? Или это нужно предполагать?

Тогда, если мое утверждение в Q1 верно, мы можем расширить $\Psi^{\pm}$ в любом $\Psi_{\alpha}^+, \Psi_{\alpha}^-$ или $\Phi_{\alpha}$ .

Q3: «Правильная» основа для расширения, по-видимому, $\Psi_{\alpha}^+$ для $\Psi^+$ и $\Psi_{\alpha}^-$ для $\Psi^-$ .

Ψ^{\pm} "=" \int г α (Ψ_{α}^{\pm}, Ψ^{\pm}) Ψ_{α}^{\pm} .

$\Psi^{\pm} = \int d\alpha~(\Psi_{\alpha}^{\pm}, \Psi^{\pm}) \Psi_{\alpha}^{\pm}.$ Что я имею в виду под «правильным», так это то, что

| (Ψ_{α}^{\pm}, Ψ^{\pm}) |^{2}

$|(\Psi_{\alpha}^{\pm}, \Psi^{\pm})|^2$ затем можно рассматривать как распределение вероятностей измерения для

O

$\mathcal O$ содержание частиц

α

$\alpha$ в

t \to \mp \infty

$t \rightarrow \mp \infty$ . Причина должна быть как-то связана с интерпретацией того, что

Ψ_{α}^{\pm}

$\Psi_{\alpha}^{\pm}$ описывает состояние с содержанием частиц

α

$\alpha$ только когда

O

$\mathcal O$ измеряется в

t \to \mp \infty

$t \rightarrow \mp \infty$ , что каким-то образом должно быть эквивалентно (3.1.12). Это верно? Если да, то как это видно из (3.1.12)? Если нет, то как

Ψ^{\pm}

$\Psi^{\pm}$ быть связанным с

Ψ_{α}^{\pm}

$\Psi_{\alpha}^{\pm}$ ? Проблема, с которой я столкнулся, пытаясь поставить это на более строгую основу, заключается в отсутствии характеристики состояния.

Ψ

$\Psi$ .

Q4: Вайнберг прямо заявляет (стр. 109), что состояния входа и выхода не могут быть записаны как пределы некоторого состояния. $\Psi(t)$ для $t \rightarrow \mp \infty$ . Однако определение $\Psi(t) \equiv e^{-iHt} \Psi$ делает именно это. Это, конечно, просто известная формулировка картины Шредингера. Эта точка зрения не верна? Или Вайнберг имеет в виду здесь что-то другое?

Qмеханик

Подробнее об экв. Вайнберга. (3.1.12) .

Ответы (1)

Путаница с входными и выходными состояниями, взаимодействующим гильбертовым пространством и т. д., относящаяся к КТП Вайнберга.

Подробнее об экв. Вайнберга. (3.1.12) .

Хиральная аномалия · Answer 1

Предварительные

Чтобы подготовить почву, я сначала рассмотрю пару предварительных вопросов, а затем отвечу на пронумерованные вопросы Q1-Q4.

Фундаментальное предположение состоит в том, что спектры собственных значений ... $H$ и $H_0$ совпадают. Хотя для меня это загадочно, я могу принять это.

Исходя из контекста, я подозреваю, что Вайнберг (ссылка 1) может использовать слово « спектр» с оттенком, выходящим за рамки его стандартного значения в математической литературе, подразумевая что-то о состояниях, а также о самом спектре, но я объясню, почему утверждение верно, если мы определяем спектр стандартным способом. А именно: спектр оператора $H$ это набор комплексных чисел $z$ для которого $H-z$ необратима (ссылка 4). Предположим, что

Спектр $H$ имеет щель, что означает, что все состояния отделены по энергии от вакуума конечной щелью $\geq M$ .
Модель, гамильтониан которой $H$ имеет по крайней мере одно семейство одночастичных состояний, среди которых энергия может быть сколь угодно близкой к $M$ .

Затем $H$ и $H_0$ определенно имеют тот же спектр. Это ясно, потому что $H_0$ определяется как имеющее те же одночастичные состояния, что и $H$ , и поскольку одночастичные состояния могут иметь произвольную энергию $>M$ если нижняя граница $M$ . Поэтому оба $H$ и $H_0$ иметь спектр $\{0\}\cup (M,\infty)\subset\mathbb{R}$ , независимо от того, как выглядят многочастичные состояния.

Но вот важный момент, который может относиться к тому, что Вайнберг на самом деле имел в виду под спектром : равенство спектров (в стандартном определении, которое я использовал выше) не означает существования многочастичных состояний, удовлетворяющих уравнению Вайнберга (3.1.12). Настоящим оправданием (3.1.12) является то, что в КТП, если существуют одночастичные состояния, мы также можем построить многочастичные состояния, в которых частицы разнесены настолько далеко, что они могут быть невзаимодействующими. По мере того, как они удаляются друг от друга (в бесконечном будущем или бесконечном прошлом), мы можем приблизить их к собственным энергетическим состояниям. Более подробно об этом см. теорему 4.2.1 в ссылке 2.

Я предполагаю, что мы не можем написать ни $\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}\Psi\in \cH$ таким образом, иначе мы бы просто имели $\cH\simeq \cH_0$ , что, конечно, тривиально, верно?

Гильбертовы пространства $\cH$ и $\cH_0$ изоморфны ( $\simeq$ ) друг к другу, разумеется, независимо от гамильтонианов $H$ и $H_0$ . Вы действительно спрашиваете, равны ли они друг другу (будь то подмножество $\cH_0\subseteq\cH$ это все $\cH$ ). Ну и операторы $H=H_0+V$ и $H_0$ оба действуют на $\cH$ , и с тех пор $H_0$ является теорией свободного поля, мы знаем, что ее «состояния входа/выхода» действительно охватывают все $\cH$ , так $\cH_0=\cH$ .

Я не уверен, что вы имели в виду с «... что, конечно, тривиально, верно?» но я добавлю этот комментарий на всякий случай. Гильбертово пространство само по себе не имеет физического смысла. Это просто векторное пространство над $\mathbb{C}$ со скалярным произведением, удовлетворяющим некоторым условиям. В квантовой физике модель (или теория) — это гильбертово пространство вместе с картой, которая говорит, какие операторы представляют какие измеримые вещи. Пример: КХД и нерелятивистская одночастичная КМ — совершенно разные модели, но их гильбертовы пространства изоморфны друг другу. Я написал еще один ответ , чтобы прояснить это, потому что иногда люди говорят о гильбертовом пространстве, когда на самом деле имеют в виду модель (или теорию).

Вопрос Q1

Согласно странице 3 в ссылке 3, это так или иначе строго не доказано. Одна трудность заключается в том, что взаимодействие $V$ нельзя пренебрегать, когда $H$ -частицы расположены близко друг к другу и $\cH_0$ включает государства, в которых $H_0$ -частицы расположены близко друг к другу. Вместо доказательства я приведу эвристический аргумент.

В теории без взаимодействий, даже если мы начали с состояния с $N$ частиц, сидящих прямо друг над другом, дисперсия (из-за обычного «принципа неопределенности») в конечном итоге приведет к тому, что их волновые функции будут настолько тонкими, что состояние хорошо аппроксимируется суперпозицией состояний, в которых все частицы находятся далеко друг от друга. друг друга.

Теперь рассмотрим взаимодействующую теорию с гамильтонианом $H$ . Начните с произвольного состояния $\Psi$ и подумайте, что происходит в бесконечном прошлом/будущем, как в вашем Q3. Эвристически мы ожидаем, что произойдет то же самое. Возможность связанных состояний не является проблемой, потому что, если некоторые частицы остаются постоянно связанными друг с другом, то мы уже включили это связанное состояние как одну из вещей, которые мы называем частицей . $\cH_0$ .

В целом это говорит о том, что хотя мы начали с произвольного состояния $\Psi$ , он асимптотически (в прошлом/будущем) приближается к суперпозиции состояний, в которых все частицы далеко друг от друга. Если этот эвристический аргумент верен, то ответ на вопрос Q1 — да .

Вопрос Q2

Тот же ответ, что и Q1.

Вопрос Q3

Если ответ на Q1 действительно да, то мы можем расширить любое состояние $\Psi$ с точки зрения либо в штатах или вне штатов. Расширение его с точки зрения внутренних состояний (соответственно внешних состояний) более полезно, если мы хотим рассмотреть наблюдаемые, которые хорошо локализованы в далеком прошлом (соответственно будущем), как вы предложили. Я не знаю, как это можно «увидеть из (3.1.12)» само по себе, но это можно увидеть из моего эвристического ответа на Q1.

Вопрос Q4

Вайнберг говорит, что мы этого не делаем , но не то, что не можем . Его заявление просто предназначено для того, чтобы напомнить нам, что он использует картину Гейзенберга.

Вайнберг (1995), Квантовая теория полей (Том I: Основы) (издательство Кембриджского университета)
Хааг (1996), Локальная квантовая физика (Спрингер)
Бухгольц и Саммерс (2005 г.), Рассеяние в релятивистской квантовой теории поля: фундаментальные концепции и инструменты ( https://arxiv.org/abs/math-ph/0509047 ), на что мне обратил внимание другой ответ
Страница 6 в Мерфи (1990), $C^*$ -Алгебры и теория операторов (Academic Press), а также стр. 180 в Debnath and Mikusiński (2005), Introduction to Hilbert Spaces with Applications (Academic Press)

Спасибо за хороший ответ! У меня есть несколько уточняющих вопросов. Я предполагаю, что если $\mathcal H = \mathcal H_0$ разве тогда $\mathcal H$ тоже фоковское пространство? Как же тогда это согласуется с часто упоминаемым утверждением, что вакуумные состояния $\mathcal H_0$ и $\mathcal H$ не одинаковы? Все ли в квантовой теории характеризуется тем, что одно и то же гильбертово пространство отображается в себя преобразованиями Пуанкаре, а связанные состояния — просто выражениями того факта, что в силу нетривиального гамильтониана $H$ некоторые конфигурации частиц не рассеиваются?
@ jkb1603 «Пространство Фока» - это просто особый способ построения гильбертова пространства. Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства (над $\mathbb{C}$ ) одинаковы в том, что касается их структуры гильбертова пространства, независимо от того, как мы ее построили. Гильбертово пространство не знает и не заботится о том, какой из его векторов представляет состояние вакуума.
@ jkb1603 Гильбертово пространство само по себе практически ничего не говорит о модели. Все физическое содержание модели закодировано в карте, которая сообщает нам, какие операторы соответствуют каким физическим измеримым вещам. Гамильтониан (который неявно указывает, какое состояние является состоянием вакуума) является частью этой карты, и способ представления преобразований Пуанкаре является частью этой карты. Иногда физики используют слово «гильбертово пространство», чтобы включить некоторые или все эти вещи, но это сбивает с толку.
@ jkb1603 В данном конкретном случае две модели имеют одинаковое состояние вакуума по своей конструкции. Когда люди говорят, что взаимодействующая и невзаимодействующая модели не имеют одного и того же состояния вакуума, они обычно имеют в виду другую невзаимодействующую модель, а именно ту, которую мы получаем, отбрасывая все неквадратичные члены в чистом гамильтониане. Это сильно отличается от того, что Вайнберг называет моделью невзаимодействия, которая включает все эффекты взаимодействий, которые определяют, какие состояния являются состояниями одной частицы (и состоянием вакуума).
@ jkb1603 Другими словами, Вайнберг $V$ аннулирует вакуумное состояние полного гамильтониана $H$ . Голый $V$ (тот же символ, но совсем другой оператор) не аннулирует вакуумное состояние полного гамильтониана $H$ .
Я понимаю. Это очень показательно. Я согласен, что разные термины сбивают с толку. Поэтому, когда кто-то говорит, что «взаимодействующее гильбертово пространство не может быть определено как пространство Фока» в рамках вашей точки зрения, они на самом деле говорят не о гильбертовом пространстве, а о том, что что-то не так с моделью (т. е. отображение наблюдаемых в операторы). )? В каком смысле может быть понято высказывание «...»?
@ jkb1603 Точно. Разные модели могут лучше обслуживаться разными способами построения гильбертова пространства, вроде того, как разные задачи механики могут быть проще решать в разных системах координат, но система координат в принципе не имеет значения. Когда мы используем конструкцию фоковского пространства гильбертова пространства, мы делаем это, чтобы упростить следующий шаг определения определенных операторов, которые будут использоваться для представления определенных измеримых вещей.
Я понимаю. Я предполагаю (единственную?) причину построения пространства Фока в том, что мы можем определить действие (т.е. представление) оператора на многочастичное состояние как естественное (продукт) расширение действия на одночастичные состояния? Насколько я понимаю, это можно сделать в любой момент времени, но центральная проблема в том, что это действие меняется по мере того, как мы переводим систему во времени. В этом смысле это нетривиальное утверждение, что, если мы говорим, что внутренние состояния трансформируются как продукт одночастичных состояний, внешние состояния действительно трансформируются таким же образом. Верно ли это понимание?
@ jkb1603 Да, это хороший способ сказать это. Операторы, создающие внутренние частицы, отличаются от тех, которые создают внешние частицы, из-за промежуточной эволюции во времени, но они должны преобразовываться одинаково. Между ними все может стать довольно грязным, когда частицы плохо разделены. В общем, попытка описать этот промежуточный беспорядок в терминах физических частиц даже не всегда имеет смысл, вроде как «река» не всегда имеет смысл посреди сложного соединения двух или более рек. Это более полезная концепция, когда они разделены.
@ChiralAnomaly Можете ли вы объяснить, какова мотивация условия в уравнении (3.1.12)?
@MuntafaMubarratMahi В правой части (3.1.12) частицы вообще не взаимодействуют друг с другом (при любом значении $\tau$ ), по определению $H_0$ . Взаимодействия включены в $H$ , но уменьшаются с увеличением расстояния между частицами. Условие (3.1.12) мотивировано тем, что в эксперименте по рассеянию в далеком будущем (или далеком прошлом) все частицы будут так далеко друг от друга, что взаимодействия между ними станут пренебрежимо малыми.
@ChiralAnomaly, но здесь Вайнберг говорит, что работает в Heisenberg Picture. Следовательно, уравнения в (3.1.12) не означают эволюции состояния во времени, если я не ошибаюсь.
@MuntafaMubarratMahi Вы правы в том, что он использует картину Гейзенберга, но явные факторы $\exp(-iE_\alpha\tau)$ в подынтегральном выражении (3.1.12) работают так же, как операторы эволюции во времени работали бы в картине Шрёдингера. Если мы умножим левую часть (3.1.12) на $\exp(iH\tau)A(0)$ для какого-то оператора $A(0)$ , то мы эффективно применили оператор Гейзенберга $A(\tau)$ в независимое от времени состояние $\Psi_\alpha^\pm$ , потому что другой фактор $\exp(-iH\tau)$ уже находится под интегралом (уравнение вверху страницы 110). То же справа, но с $H_0$ вместо $H$ .

Путаница с входными и выходными состояниями, взаимодействующим гильбертовым пространством и т. д., относящаяся к КТП Вайнберга.

jkb1603

Qмеханик

Ответы (1)

Хиральная аномалия

Предварительные

Вопрос Q1

Вопрос Q2

Вопрос Q3

Вопрос Q4

jkb1603

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

Хиральная аномалия

jkb1603

Хиральная аномалия

jkb1603

Хиральная аномалия

Хиамф

Хиральная аномалия

Хиамф

Хиральная аномалия

Вопрос об энергии включения и выключения взаимодействия адиабатически в КТП

Как заменить ТТТ-произведение на запаздывающий коммутатор в формуле ЛСЗ?

Наивный вопрос про S-матрицу

Какой смысл вводить производящий функционал в слагаемые разложения S-матрицы?

Что означает квадратный корень из лапласиана?

S-матрица в КТП Вайнберга

Простое моделирование QFT - как это сделать

Каковы асимптотические собственные состояния импульса? Одетые кванты или кванты свободной теории?

Голая масса к физической массе в пределе исчезающего взаимодействия как t→±∞t→±∞t\rightarrow \pm\infty

Как взаимодействующий вакуум |Ω⟩|Ω⟩|\Omega \rangle входит в теорию?