Наивный вопрос про S-матрицу

Ваше второе уравнение является неправильной интерпретацией обозначений в вашем первом уравнении.$|q_1,q_2\rangle$не является вектором в конечномерном векторном пространстве, имеющим компоненты$q_1$и$q_2$в каком-то основании. Скорее$|q_1,q_2\rangle$и$|p_1,p_2,p_3\rangle$оба являются векторами в одном и том же бесконечномерном гильбертовом пространстве.

В простейшем случае, когда все частицы являются бозонами одного и того же вида, это гильбертово пространство натянуто на следующий набор «внутренних» векторов.

1. $|0\rangle$-- единый вектор единичной нормы, представляющий состояние без входящих частиц.
2. $|p\rangle$-- единичный вектор для каждого импульса$p$. Если$p'$и$p'$разные импульсы, то$|p\rangle \neq |p'\rangle$. Эти векторы представляют собой состояния, в которых имеется ровно одна частица, пришедшая из бесконечности прошлого с фиксированным импульсом.
3. $|p_1,p_2\rangle$-- единичный вектор для каждой пары$(p_1,p_2)$импульсов.$|p_1,p_2\rangle$не является$|p_1',p_2'\rangle$пока не$p_1 = p_1'$и$p_2=p_2'$или$p_1 = p_2'$и$p_2=p_1'$. Это состояния, в которых у нас есть две частицы, приходящие из бесконечности прошлого.
4. $|p_1,p_2,p_3\rangle$-- единичный вектор для каждого триплета$(p_1,p_2,p_3)$. Эти векторы равны друг другу, только если их метки$(p_1,p_2,p_3)$являются перестановками друг друга.
5. ...

Это непрерывный базис, который может показаться немного странным, если вы привыкли к конечномерным векторным пространствам. Конечные суммы заменяются суммой по числу частиц и интегралами по меткам импульса.

Есть похожая база$|0\rangle, \{|q\rangle\}, \{|q_1,q_2\rangle\},..$векторов «вне», где теперь наш импульс помечает состояния в соответствии с числом частиц в будущей бесконечности с фиксированными импульсами.

S-матрица представляет собой изменение базовых коэффициентов для перехода от внутрибазового к внебазисному.

Гильбертово пространство теории$\cal H$можно рассматривать одновременно как пространство Фока двумя разными способами :

$${\cal H} = {\cal F}_{symm}(K_{in}) = {\cal F}_{symm}(K_{out})\:.$$ Где $K_{in}$и $K_{out}$являются одночастичным пространством входящих и исходящих свободных частиц, и я предполагаю, что частицы являются бозонами для простоты. Выше: $${\cal F}_{symm}(K) = {\mathbb C}\oplus K \oplus (K\otimes K)_{symm} \oplus (K\otimes K\otimes K)_{symm}\oplus \cdots$$

Дело в том, что в целом$K_{in}$включают не только переносчики$K_{out}$, но даже из$(K_{out}\otimes K_{out})_{symm}$,$(K_{out}\otimes K_{out}\otimes K_{out})_{symm}$, и так далее. Другими словами, неверно, что , например,$K_{in} \not\perp (K_{out}\otimes \cdots (k \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$для$k>1$.

Это математический перевод того факта, что влетающая свободная частица в асимптотическом прошлом (когда взаимодействия выключены) благодаря взаимодействиям в конечное время может породить множество свободных частиц в асимптотическом будущем (когда взаимодействия выключены). опять выключил). В общем случае число частиц не сохраняется из-за взаимодействий, переходящих от$t=-\infty$к$t=+\infty$.

В общем случае для каждого значения$n$и$m$:

$(K_{in}\otimes \cdots (n \:times)\cdots \otimes K_{in})_{symm} \not\perp (K_{out}\otimes \cdots (m \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$.

Эти отношения можно записать с помощью векторов:

$$\langle\psi^{(out)}_{1}\cdots \psi^{(out)}_{m}| \psi^{(in)}_{1}\cdots \psi^{(in)}_{n}\rangle \neq 0 \quad \mbox{for generic $n\neq m$,}$$

где, например

$$|\psi^{(out)}_{1}\cdots \psi^{(out)}_{m}\rangle \in (K_{out}\otimes \cdots (m \:times)\cdots \otimes K_{out})_{symm}$$

является общим симметричным состоянием, состоящим из$m$исходящие частицы с одиночными состояниями$\psi^{(out)}_{1},\cdots, \psi^{(out)}_{m}\in K_{out}$, не обязательно попарно различных.

То, о чем вы, кажется, думаете, - это «ведущий» вклад в амплитуду - когда каждая внутренняя частица переходит к исходящей без взаимодействия. Это происходит в любой свободной/линейной теории волн, проходящих друг через друга без взаимодействия.

Что нас интересует, так это$T$матрица в$S = \mathbf{1} + i T$а вы говорите о вкладе$\mathbf{1}$. Представьте себе простое «взаимодействие», когда одна частица распадается на пару частиц. Такой аспект теории (среди прочих возможностей) будет способствовать$T$матрица и дает вам ненулевые амплитуды, даже когда количество частиц изменяется (возможно, увеличивается на единицу).

Иными словами, нет причин, по которым число частиц должно сохраняться в процессе, за исключением, может быть, особых случаев. Можете ли вы придумать какую-либо симметрию, которая могла бы подразумевать такую ​​сохраняющуюся величину?

---

Математически, с точки зрения состояний в гильбертовом пространстве:

Не вдаваясь в глубокие вопросы о "существовании" гильбертова пространства для взаимодействующей теории (которую я недостаточно знаю, чтобы комментировать)... Для взаимодействующей теории пространство состояний - это фоковское пространство.$\mathcal{H} = \oplus H_n$где$H_n$является n-частичным гильбертовым пространством. Каждое из этих состояний может быть обозначено их квантовыми числами в соответствии с симметриями теории (теории представлений).

$\langle q_1, q_2 | p_1, p_2 ,p_3 \rangle$НЕ нравится$(q_1, q_2) \cdot (p_1, p_2, p_3)$. Вы должны думать об этом как о внутреннем продукте каких-то двух состояний$\langle \Psi_2 | \Psi_3 \rangle$.$|\Psi_2 \rangle$оказывается определенным состоянием в фоковском пространстве, параметризуемым двумя квантовыми числами$q_1 , q_2$(аналогичная интерпретация для$|\Psi_3 \rangle$). Каждое из них является состоянием в бесконечномерном векторном/гильбертовом/фоковском пространстве, степени свободы которого можно рассматривать как возбуждения в каждой пространственной точке для каждого поля в теории.