Путаница в ренормгруппе реального пространства для модели Изинга на решетке

Question

Путаница в ренормгруппе реального пространства для модели Изинга на решетке

xjtan

Для модели Изинга только с взаимодействием ближайшего соседа на квадратной решетке, если мы выполним РГ, интегрируя половину степени свободы, то мы получим новую модель Изинга со многими видами взаимодействий, поэтому модель Изинга только с взаимодействием ближайшего соседа не может быть неподвижная точка RG.

В общем случае неподвижная точка должна включать в себя бесконечное множество видов взаимодействий, и мы не можем найти ее точно.

Но пока предположим, что мы его нашли, т. е. у нас есть модель Изинга с бесконечным множеством взаимодействий, и это фиксированная точка РГ, и мы рассматриваем двухточечную корреляцию спин-спин, $\langle s(0)s(r)\rangle$ . Перед РГ дистанция за два вращения равна $r$ , после РГ расстояние становится $\frac{r}{2}$ , но гамильтониан остается прежним, за исключением того, что число спинов уменьшается вдвое. Поэтому я думаю, что $\langle s(0)s(r)\rangle=\langle s(0)s(\frac{r}{2})\rangle$ . Но очевидно, что это неправильно, так как спин-спиновая корреляционная функция должна затухать по степенному закону. Что не так с моим аргументом?

Абдельмалек Абдесселам

Вы забыли масштабирование, которое не меняет размер

s (r)

$s(r)$ к

s (r / 2)

$s(r/2)$ но по

2^{Δ} s (r / 2)

$2^{\Delta}s(r/2)$ где

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ — скейлинговая размерность спинового поля.

xjtan

Спасибо за ответ и я с ним согласен. Таким образом, картина для этого прореживающего РГ такова: после интегрирования полувращений связи до

n -

$n-$ термин взаимодействия с телом

s^{n}

$s^n$ не совсем такие же, как раньше, имеют разницу в

2^{- n Δ}

$2^{-n \Delta }$ , поэтому, масштабируя

s

$s$ к

2^{Δ} s

$2^\Delta s$ , гамильтониан восстанавливается? И вычисление правильного

Δ

$\Delta$ вообще не простая задача.

xjtan

И я думаю, это волшебство, что простое масштабирование

s

$s$ может решить всю проблему в муфте.

Абдельмалек Абдесселам

Я написал ответ с более подробной информацией.

Ответы (3)

Путаница в ренормгруппе реального пространства для модели Изинга на решетке

Вы забыли масштабирование, которое не меняет размер $s(r)$ к $s(r/2)$ но по $2^{\Delta}s(r/2)$ где $\Delta=1/8$ — скейлинговая размерность спинового поля.
Спасибо за ответ и я с ним согласен. Таким образом, картина для этого прореживающего РГ такова: после интегрирования полувращений связи до $n-$ термин взаимодействия с телом $s^n$ не совсем такие же, как раньше, имеют разницу в $2^{-n \Delta }$ , поэтому, масштабируя $s$ к $2^\Delta s$ , гамильтониан восстанавливается? И вычисление правильного $\Delta$ вообще не простая задача.
И я думаю, это волшебство, что простое масштабирование $s$ может решить всю проблему в муфте.
Я написал ответ с более подробной информацией.

Лоренц Майер · Answer 1

На итерации процедуры перенормировки выполняется множество преобразований:

1) Преобразование пространства, в частности масштабирование

Икс \mapsto {Икс}^{'} "=" ф (Икс) .

$x \mapsto x' = f(x) \ .$

2) Преобразование переменных

С (Икс) \mapsto С^{'} ({Икс}^{'}) .

$S(x) \mapsto S'(x') \ .$

3) Преобразование государства

⟨ \cdot ⟩ \mapsto ⟨ \cdot ⟩^{'} .

$\langle \cdot \rangle \mapsto \langle \cdot \rangle' \ .$

Чтобы быть более явным, если вы рассматриваете модель Изинга с оператором Гамильтона

β ЧАС [С] "=" \sum_{Икс} {Дж}^{(1)} (Икс) С (Икс) + \sum_{Икс, у} {Дж}^{(2)} (Икс, у) С (Икс) С (у) + \sum_{Икс, у, г} {Дж}^{(3)} (Икс, у, г) С (Икс) С (у) С (г) + \dots,

$\beta H[S] = \sum_{ x} J^{(1)}(x) S(x) + \sum_{ x,y} J^{(2)}(x,y)S(x) S(y) + \sum_{ x,y,z} J^{(3)}(x,y,z)S(x) S(y) S(z) + \cdots \ ,$

Тогда государство $\langle \cdot \rangle$ это просто состояние Гиббса $H[S]$ , и $\langle \cdot \rangle'$ является состоянием Гиббса оператора Гамильтона $H'[S']$ , где $H'$ имеет параметры $J^{'(i)}$ .

Они должны быть выбраны так, чтобы все корреляционные функции совпадали:

⟨ С ({Икс}_{1}) С ({Икс}_{2}) \dots С ({Икс}_{н}) ⟩ "=" ⟨ С^{'} ({Икс}_{1}^{'}) С^{'} ({Икс}_{2}^{'}) \dots С^{'} ({Икс}_{н}^{'}) ⟩^{'} .

$\langle S(x_1) S(x_2) \cdots S(x_n) \rangle = \langle S'(x_1') S'(x_2') \cdots S'(x_n') \rangle' \ .$

Находясь в фиксированной точке, мы имеем, что $\langle \cdot \rangle = \langle \cdot \rangle'$ . Ваш вывод верен, если $S = S'$ . Но это не правда. Как правило, операторы вращения имеют некоторую размерность масштабирования ( https://en.wikipedia.org/wiki/Scaling_dimension ).

Спасибо за ответ, хотя я не согласен с тем, что их расстояние на решетке не изменилось. В RG есть один шаг, называемый масштабированием, который масштабирует расстояние между двумя сайтами на 1/2 в нашем контексте. Причина масштабирования — сравнение моделей до и после RG. Вы можете ознакомиться с заметкой МакГриви о RG, которая, на мой взгляд, фантастична. mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf
опять же, это зависит от процедуры. Если вам нужна помощь для вашей конкретной процедуры, я бы рекомендовал изложить шаги, которые вы имеете в виду. Конкретно я подозреваю, что в вашем случае операторы спина переопределяются.
Процедура, на мой взгляд, следующая:
Процедура, на мой взгляд, следующая: (1) квадратная решетка является двудольной решеткой, поэтому мы интегрируем все спины на одной подрешетке и получаем новую модель Изинга; (2) если мы рассмотрим $<S_0 S_2>$ на старой решетке, на старой решетке расстояние равно 2 на единицу постоянной решетки $a$ , в новой решетке расстояние равно 1 в новой постоянной решетки $2a$ ; поэтому мы масштабируем постоянную решетки обратно к $a$ .

Абдельмалек Абдесселам · Answer 2

Дело в том, что процедура прореживания не позволяет умножать на $2^{\Delta}$ в переключении со старых спиновых переменных $s(r)$ к $2^{\Delta}s(2r)$ . Это недостаток, упомянутый самим Уилсоном в левой колонке страницы 801 его статьи «Ренормализационная группа: критические явления и проблема Кондо» в Rev. Mod. физ. Лучшим преобразованием является процедура вращения блока, в которой новые вращения действительно новые, а не просто подмножество старых. Другая проблема заключается в том, что фиксированная точка должна быть мерой вероятности на ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Z}^d}$ скорее, чем $\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ хотя бы для того, чтобы приспособить другие модели с действительными значениями к тому же классу универсальности, что и $\phi^4$ модель. При вращении блока новые вращения выглядят примерно так:

т (р) "=" 2^{Δ - г} \sum_{ты е 2 р + {0, 1}^{г}} с (ты)

$t(r)=2^{\Delta-d}\sum_{u\in 2r+\{0,1\}^d} s(u)$ Для 2D Изинга,

Δ = 1 / 8

$\Delta=1/8$ и

d = 2

$d=2$ . При повторении преобразования

n

$n$ раз, интервал между значениями

2^{n (Δ - d)} \to 0

$2^{n(\Delta-d)}\rightarrow 0$ . С другой стороны, экстремальные значения (например, если все

s (r)

$s(r)$ являются

+ 1

$+1$ х) иди как

2^{n Δ} \to \infty

$2^{n\Delta}\rightarrow \infty$ . Таким образом, как и в центральной предельной теореме для биномиального распределения, мы приближаемся к распределению действительнозначной случайной величины с плотностью. Обратите внимание, что Уилсон упоминает промежуточный подход из-за Каданова, где новые вращения

t

$t$ все еще в

{- 1, 1}^{Z^{d}}

$\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ но с параметром связи

ρ

$\rho$ к старым спинам

s

$s$ . Наконец, классическая центральная предельная теорема может быть понята в приведенной выше схеме с

Δ = d / 2

$\Delta=d/2$ .

Спасибо за хороший ответ. Я также провел поиск в литературе, и Каданофф также написал на странице 295 своей книги «Статистическая физика, статика, динамика и перенормировка», что: «Единственная возможность состоит в том, что схема перенормировки, которую мы используем, сама по себе ошибочна в том смысле, что никогда не приводит к фиксированная точка. Это правильный ответ. (В сноске говорится, что это основано на его личном общении с Уилсоном)».
Затем мне было интересно, как ведет себя критический гамильтониан при выполнении процедуры прореживания. МакГриви в своей заметке mcgreevy.physics.ucsd.edu/f18/2018F-217-lectures.pdf написал, что двумя другими возможными ситуациями могут быть хаос или ограниченный цикл. Я думаю, здесь должен быть хаос.

Гек · Answer 3

Вы остановили свое рассмотрение и не сделали окончательного вывода. Преобразование перенормировки, основанное на прореживаниях, не имеет неподвижной точки. Принятый ответ в этом разделе Критическая 2d модель Изинга содержит ссылку на примечания по этому вопросу.

Согласно моему предыдущему пониманию, да, не фиксированная точка. Но добавление операции масштабирования $s$ к $2^\Delta s$ даст фиксированную точку.

Путаница в ренормгруппе реального пространства для модели Изинга на решетке

xjtan

Абдельмалек Абдесселам

xjtan

xjtan

Абдельмалек Абдесселам

Ответы (3)

Лоренц Майер

xjtan

Лоренц Майер

xjtan

xjtan

Абдельмалек Абдесселам

xjtan

xjtan

Гек

xjtan

Существует ли перенормировка для двумерного измерения, дающая точную критическую связь, и почему?

Критическая 2d модель Изинга

Почему модель Изинга в критической точке обладает масштабной инвариантностью?

Теория среднего поля в одномерной модели Изинга

Ренормализационная группа в d=3d=3d=3

Как понимать сингулярности в физике?

Свобода выбора бета-функций в RG

Критическая температура и размер решетки с помощью алгоритма Вольфа для двумерной модели Изинга

Каково определение длины корреляции для модели Изинга?

В чем смысл изменения связи после перенормировки (в одномерной модели Изинга)?