Почему модель Изинга в критической точке обладает масштабной инвариантностью?

Я не думаю, что есть общепринятый ответ на вопрос, почему это происходит. Это обычно называют « гипотезой масштабирования », т. е. что вблизи (непрерывных) фазовых переходов термодинамические величины и корреляционные функции обычно ведут себя как степенные законы, характеризующиеся универсальными показателями, которые не зависят от микроскопических параметров системы.

Прежде всего, масштабная инвариантность и длина корреляции ($\xi$) расхождения идут рука об руку. Корреляционная длина в основном устанавливает масштаб длины для интересующего физического явления: если я покачиваю частицу в положении$x$, этот эффект будет ощущаться на расстоянии$x+\xi$. Является ли система масштабно-инвариантной, то есть одно и то же явление присутствует на коротких, средних и больших расстояниях с одинаковой интенсивностью, тогда$\xi$не может быть конечным. Следовательно, оно должно быть бесконечным.

Следует также отметить, что на самом деле у вас нет «действительно» масштабной инвариантности во всех масштабах. Я имею в виду, что если вы достаточно увеличите масштаб, вы доберетесь до субатомных структур, которые, очевидно, не участвуют в фазовых переходах, таких как жидкость-газ или намагниченность. Вот почему визуальные представления метода РГ показывают уменьшение, а не увеличение.

Возможный ответ на вопрос «почему» следующий.
Фазовый переход характеризуется неаналитической свободной энергией. То есть что-то взрывается и уходит в бесконечность в критической точке. Бесконечность есть бесконечность, нет нюансов бесконечности. Таким образом, достаточно близко к фазовому переходу, чтобы эта бесконечность доминировала над нами, особенности материала и масштаба, на который мы смотрим, становятся несущественными. Таким образом, вы ожидаете приблизиться к «универсальному» поведению для разных материалов, разных конфигураций и разных масштабов длины в этом отношении.
Затем математика обычно показывает, что длина корреляции$\xi$идет как$\propto (T-T_{\mathrm{c}})^{-\nu}$, то есть$\xi\rightarrow\infty$как$T\rightarrow T_{\mathrm{c}}$. Из чего следует масштабная инвариантность.