Каково определение длины корреляции для модели Изинга?

Это не определение длины корреляции. (Это определение критического показателя.)

Корреляционная длина определяется в терминах двухточечной корреляционной функции спиновых наблюдаемых. Выбрать точки$x$и$y$на решетке и рассмотрим среднее значение$\langle s(x) s(y) \rangle$произведения спина, наблюдаемого при$x$и спин, наблюдаемый при$y$. Эта величина говорит вам, насколько сильно коррелирует спин в$x$и вращение на$y$являются функцией температуры, константы связи и расстояния между$x$и$y$. Если$T > T_c$, то корреляционная функция экспоненциально быстро затухает в$|x-y|$.

$\langle s(x) s(y) \rangle \sim e^{-\frac{|x-y|}{\xi(T)}}$

Длина корреляции, по определению, постоянная (в$x$и$y$, но не в$T$), который говорит вам, как быстро исчезает корреляционная функция.

Просто небольшое дополнение к тому, что сказал пользователь 1504: длина корреляции может быть определена для$T<T_c$также, так что$\big\langle\big(s(x)-\langle s(x) \rangle \big)\big(s(y)-\langle s(y) \rangle \big)\big\rangle=e^{-\frac{|x-y|}{\xi}}$

Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой, представляющая собой упрощенную модель реальности, демонстрирует фазовый переход. Онзагер показал, что существует определенная температура, называемая температурой Кюри или критической температурой.$T_c$, ниже которого в системе проявляется ферромагнитный дальний порядок. Выше он парамагнитен и неупорядочен.

При нулевой температуре каждое вращение выровнено в направлении +1 (или -1). Когда мы повышаем температуру, удерживая ниже$T_c$, некоторый оттенок начнет ориентироваться в противоположном направлении. Типичный масштаб длины формирования кластера называется длиной корреляции,$\xi$, и она растет с повышением температуры и расходится при$T_c$. Если мы выйдем за пределы$T_c$, корреляционная длина начинает уменьшаться и при бесконечной температуре становится равной нулю.

Моделирование двумерной модели Изинга на решетке 100x100. Слева направо и сверху вниз температура увеличивается. В состоянии равновесия, когда$T<T_c$, типичные конфигурации в фазе + выглядят как «море» спинов +1 с «островами» спинов -1. Для больших размеров решетки «острова» имеют «озера» со спинами +1. На этом рисунке спины +1 отмечены черным цветом, а спины -1 — белым. Каждый связанный белый объект представляет собой кластер.

Формально :

Двухточечная корреляционная функция определяется как

Поскольку технический вывод и объяснение длины корреляции уже подробно обсуждались, я бы предпочел поделиться своим пониманием этого предмета.

Понятие корреляционной длины является достаточно общим при изучении теплового или квантового фазового перехода. Это единственная соответствующая шкала длины вблизи критической точки.

Давайте подумаем о магнитной системе. Обычно близлежащие спины коррелируют друг с другом. Вдали от критической точки,$T \neq T_c$, их корреляция распространяется на определенное расстояние$\xi$, называемая корреляционной длиной. Это типичный размер областей, в которых спины принимают одинаковое значение, как показано ниже.

Где размер магнитного домена определяется длиной корреляции. Конечно, можно уточнить его определение в терминах асимптотического поведения корреляционной функции, но физическая картина остается той же, что и соответствует приведенной выше диаграмме.