Нахождение эффективного гамильтониана в некотором подпространстве

Чтобы найти эффективный гамильтониан в подпространстве, которое энергетически хорошо отделено от остальной части гильбертова пространства, люди пытаются найти унитарное преобразование, которое делает гамильтониан блочно-диагональным в этом подпространстве. Обычно эта процедура выполняется пертурбативно и имеются соответствующие формулы - обычно второго порядка. Но я где-то видел, что эффективный гамильтониан удовлетворяет компактному соотношению:

1 Е − ЧАС е ф ф "=" п с 1 Е − ЧАС п с

Где п с является оператором проектирования в подпространство, для которого нам нужен его эффективный гамильтониан.

Так откуда же взялось указанное выше соотношение? Также будет очень полезно, если вы упомянете некоторые ссылки о различных способах систематического получения эффективного гамильтониана.

Приведенную выше формулу я видел в книге «Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм» Ауэрбаха.

Просто примечание, чтобы установить связь с обычной теорией возмущений, где нас, естественно, интересует п ЧАС к п для всех целых к (т.е. как гамильтониан может соединять различные состояния в нашем подпространстве). Этот бесконечный список операторов может быть получен с помощью одной генерирующей функции. ф ( ϵ ) "=" п 1 1 − ϵ ЧАС п . Действительно, по тождеству геометрических рядов мы знаем, что алгебраически ф ( ϵ ) "=" п ( ∑ н "=" 0 ∞ ϵ н ЧАС н ) п такой, что п ЧАС к п "=" г к ф г ϵ к | ϵ "=" 0 .
[продолжение] Обратите внимание, что г эфф ( Е ) "=" п 1 Е − ЧАС п "=" ф ( 1 Е ) Е , поэтому на алгебраическом уровне г эфф ( Е ) содержит всю информацию, необходимую для нашей традиционной теории возмущений.

Ответы (2)

Этот подход легко понять, если вы понимаете, что 1 / ( Е − ЧАС ) не что иное, как пропагатор (функция Грина) г ( Е ) "=" ( Е − ЧАС ) − 1 . Таким образом, этот подход просто означает, что эффективный распространитель г эфф ( Е ) "=" ( Е − ЧАС эфф ) − 1 получается путем ограничения полного пропагатора на интересующее подпространство г эфф ( Е ) "=" п с г ( Е ) п с . Можно задаться вопросом, почему не проецировать гамильтониан непосредственно на подпространство, а проецировать пропагатор. Причина в том, что все физические наблюдаемые измеряются относительно матрицы плотности р ( Е ) "=" − 2 ℑ г ( Е + я 0 + ) , которая является мнимой частью пропагатора. Например, ожидаемое значение оператора А оценивается по собственному состоянию энергии Е дан кем-то

А ¯ ( Е ) "=" Тр А ^ р ( Е ) "=" − 2 Тр А ^ ℑ г ( Е + я 0 + ) .

Теперь предположим, что нас интересуют только физические наблюдаемые в гильбертовом подпространстве. ЧАС с , то информация пропагатора г ( Е ) в этом подпространстве будет достаточно для воспроизведения всего результата измерения, а значит, и «эффективного» описания подсистемы. Поэтому гамильтониан, который создаст эффективный пропагатор, считается эффективным гамильтонианом для подсистемы. Конечно, эффективный гамильтониан, как правило, рассчитывается только в некотором порядке с учетом возмущений, поэтому вводятся приближения. Но представьте, если бы мы могли найти эффективный гамильтониан всех порядков, тогда он согласовывался бы с полным гамильтонианом при любых физических измерениях, происходящих в подсистеме (или подпространстве).

Возьмем, к примеру, простую квантовомеханическую задачу. Рассмотрим двухуровневую систему, описываемую гамильтонианом

ЧАС "=" [ 0 т т U ] ,

где т ≪ U трактуется как возмущение. В пределах т → 0 , получаем два уровня энергий 0 и U соответственно. Теперь нас интересует поправка энергии на низкоэнергетический уровень (уровень около энергии 0). Итак, мы сначала вычисляем пропагатор системы

г "=" 1 Е − ЧАС "=" [ Е − U Е 2 − Е U − т 2 т Е 2 − Е U − т 2 т Е 2 − Е U − т 2 Е Е 2 − Е U − т 2 ] .

Эффективный пропагатор для низкоэнергетического уровня получается ограничением пропагатора на низкоэнергетическое подпространство, т.е. взятием п 1 г ( Е ) п 1 "=" г ( Е ) 11 компонент (в первой строке и первом столбце),

г эфф ( Е ) "=" Е − U Е 2 − Е U − т 2 .

Теперь мы хотим построить эффективный гамильтониан ЧАС эфф так что эффективный пропагатор может быть создан г эфф ( Е ) "=" 1 / ( Е − ЧАС эфф ) . Мы нашли

ЧАС эфф "=" т 2 Е − U .

Мы отмечаем, что ЧАС эфф также является функцией Е , потому что физика может меняться по шкале энергии. Чтобы найти собственную энергию, можно решить уравнение Шрёдингера ЧАС эфф ( Е ) | ψ ⟩ "=" Е | ψ ⟩ . Поскольку подпространство содержит только одно состояние, в этом случае собственное состояние просто фиксировано по отношению к базису подпространства (но на самом деле неявно изменяется в зависимости от состояния). Е в исходном базисе полного пространства), а собственная энергия определяется выражением т 2 / ( Е − U ) "=" Е , решение которого

Е "=" 1 2 ( U ± U 2 + 4 т 2 ) .

Можно видеть, что эффективный гамильтониан, если вычислить его точно для всех порядков, по-прежнему содержит спектр полной системы. Но в общем случае мы можем вычислить эффективный гамильтониан только пертурбативно. В этом случае имеет смысл оценивать эффективный гамильтониан только вблизи невозмущенного уровня энергии. Итак, мы оцениваем ЧАС эфф ( Е ) в Е "=" 0 и найти результат возмущения второго порядка ЧАС эфф ( Е "=" 0 ) "=" − т 2 / U . Чтобы получить поправки более высокого порядка, мы возвращаем энергию второго порядка к эффективному гамильтониану и находим результат с точностью до четвертого порядка по т / U , т.е. ЧАС эфф ( Е "=" − т 2 / U ) "=" − т 2 / U + т 4 / U 3 + О [ т 6 ] . Таким образом, мы можем получить пертурбативные поправки по порядку рекурсивно.

Хороший ответ! Всего два вопроса: 1) Понятно ли, что в принципе ЧАС эфф захватывает весь спектр? Я вижу это в вашем примере выше, но я не вижу, является ли это артефактом вашей простой модели или чем-то общим. 2) Знаете ли вы, как цитируемое вами определение связано с определением е − я ЧАС эфф т "=" п е − я ЧАС т п ? Обратите внимание, что это ЧАС эфф будет зависеть от т , аналогично тому, как определение, которое вы обсуждаете, зависит от Е . Сначала я подумал, что они могут быть одинаковыми (после естественной замены Е ↔ 1 т ), но я не могу его увидеть.
@RubenVerresen 1) если ЧАС эфф оценивается для всех заказов, то он должен содержать полный спектр. 2) определить пропагатор во временной области как г ( т ) "=" е − я ЧАС т , то ваше определение просто г эфф ( т ) "=" п г ( т ) п , что связано с г эфф ( ю ) "=" п г ( ю ) п путем применения преобразования Фурье г ( ю ) "=" я ∫ г т г ( т ) е я ю т в обе стороны (обратите внимание, что оператор проектирования п не зависит от времени, поэтому можно свободно входить или выходить из интеграла).
Спасибо! 2) Звучит хорошо! 1) Хм а взять например случай ЧАС "=" ( А 0 0 Б ) (где А и Б — произвольные эрмитовы матрицы) и п является проекцией на первый блок. Затем п 1 Е − ЧАС п "=" ( Е − А ) − 1 который явно не содержит информации о Б . Я что-то упускаю из виду?
@RubenVerresen Ну, за исключением ограничения по болезни, когда возмущение полностью отключено, два подпространства не разговаривают друг с другом ...
Большое спасибо за это хорошее объяснение. Меня интересует, как вычислить эффективный гамильтониан с помощью метода возмущений второго порядка, потому что я знаю только обычный способ получить энергетическую поправку из теории возмущений второго порядка. В вашей простой двухуровневой системе энергетическая поправка от возмущения второго порядка равна
точно равно − т 2 U , что кажется таким же, как ЧАС е ф ф . Мне интересно, что это не случайность, а более общее. Не могли бы вы рассказать больше о деталях расчета эффективного гамильтониана из теории возмущений?
Как правило, если ЧАС "=" [ ЧАС А А ЧАС А Б ЧАС Б А ЧАС Б Б ] и мы хотели бы знать эффективный гамильтониан в подпространстве A. г "=" 1 Е − ЧАС "=" [ Е − ЧАС А А − ЧАС А Б − ЧАС Б А Е − ЧАС Б Б ] − 1 , эффективный пропагатор в подпространстве A равен г А А "=" ( Е − ЧАС А А − ЧАС А Б ( Е − ЧАС Б Б ) − 1 ЧАС Б А ) − 1 "=" 1 Е − ЧАС е ф ф . Тогда мы знаем, что эффективный гамильтониан в подпространстве A равен ЧАС е ф ф "=" ЧАС А А + ЧАС А Б ( Е − ЧАС Б Б ) − 1 ЧАС Б А . Тогда как получить коррекцию эффективного гамильтониана порядок за порядком?

Эверетт прекрасно объяснил компактное отношение. Что касается ссылок, https://arxiv.org/abs/1005.2495 и https://arxiv.org/abs/1105.0675 (более математические) хороши. Кроме того, эффективный гамильтониан вычисляется до 6-го порядка в приложении B к https://arxiv.org/abs/1704.03870 с использованием формулировки теории вырожденных возмущений Шриффера-Вольфа. (Я автор этой статьи.)

Нахождение эффективного гамильтониана в некотором подпространстве
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v